歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 90 mm である。これらをモジュール 2 mm、減速比 3.5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。
a = 90 mmm = 2 mmi = 3.5
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 120 mm のプーリと直径 315 mm のプーリをつなぎ、その中心は 1000 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 120 mmd2 = 315 mmC = 1000 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中空軸（外径 60 mm、内径 42 mm、長さ 0.8 m）が一端で固定され、他端でトルク 400 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·mdo = 60 mmdi = 42 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 2.5 m の B にトルク 2000 N·m が作用し、さらに 0.8 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmTB = 2000 N·mTC = 250 N·mAB = 2.5 mBC = 0.8 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 40 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 40 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1000 mm、肉厚 6 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.8 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 50° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 1000 mmt = 6 mmp = 0.8 MPaα = 50°
σn = MPa
7.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 100 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 10 kN/m のばねにつながれた 15 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 15 kgk = 10 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 50 kN/m、下のばねは k₂ = 80 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 40 kgk1 = 50 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N1 = 20
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·90/2 = 90
比で分ける
N1 = 90/(1 + 3.5) = 20
答え
N1 = 20
2.歯車と歯車列
答え: θ = 168.8 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.0975) = 5.595°
巻き付け角
θ = 180 − 2·5.595 = 168.8°
答え
θ = 168.8°
3.軸のねじり
答え: φ = 0.4862 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
ねじれ角
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·800/(39000·966855) = 0.008486 rad
φ = 0.008486·180/π = 0.4862°
答え
φ = 0.4862°
4.軸のねじり
答え: τmax = 71.3 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 2000 = −1750 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 1750 N·m
τmax = 16·1.75 × 10⁶/(π·50³) = 71.3 MPa
答え
τmax = 71.3 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 64.15 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 70 MPa, R = √((−30)² + 50²) = 58.31 MPa
σ1 = 128.3 MPa, σ2 = 11.69 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(116.6, 128.3, 11.69)/2 = 64.15 MPa
答え
τabs = 64.15 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 47.11 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 0.8·500/6 = 66.67 MPa
σa = pr/(2t) = 33.33 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 33.33·sin²50° + 66.67·cos²50° = 47.11 MPa
答え
σn = 47.11 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 2037 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 100·1000/490.9 = 203.7 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 203.7/100000 = 0.002037 = 2037 µε
答え
ε = 2037 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.848 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 79.58 MPa
σ2 = 497.4 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 79.58·1500/200000 = 0.5968 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 497.4·1000/117000 = 4.251 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.848 mm
答え
δ = 4.848 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 139.5 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139.5 kN
答え
Pcr = 139.5 kN
10.柱の座屈
答え: d = 69.03 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 69.03 mm
答え
d = 69.03 mm
確認：細長比 KL/r は 231.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 2.935 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(10000/15) = 25.82 rad/s
fn = 25.82/(2π) = 4.109 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.7²) = 2.935 Hz
答え
fd = 2.935 Hz
12.機械振動
答え: keq = 30.77 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/50 + 1/80 → keq = 50·80/(50 + 80) = 30.77 kN/m
答え
keq = 30.77 kN/m
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