物質・エネルギー収支：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

化学量論

物質量
n = m/M
濃度
c = n/V
物質量の比
釣り合った反応式の係数を使う
限定反応物
先になくなる物質
収率
実際の量 / 理論量 × 100%

解き方

  1. 化学反応式を書き、係数をそろえます。
  2. 与えられた質量を物質量に換算します：n = m/M。
  3. 係数を物質量の比として使い、求めたい物質の物質量を求めます。
  4. m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるときは、まず限定反応物を求めます。

2演習問題

1.物質収支ふつう
ミキサー流れ 1350 kg/h · 10% 砂糖流れ 2ṁ₂ = ? · 50% 砂糖製品15% 砂糖

混合後の製品が砂糖を 15% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 350 kg/hx1 = 10 %x2 = 50 %x3 = 15 %
ṁ2 = kg/h
2.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F2000 kg/h · 12% 砂糖製品 PP = ? · 60%蒸気 W（純水）0% 砂糖

蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。製品流量 Pを kg/h で求めよ。

F = 2000 kg/hxF = 12 %xP = 60 %
P = kg/h
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 170 °C60 °C水 · 25 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側軽油 · 180 °C70 °C水 · 25 °C55 °C · ṁ = ?損失 10%

高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 3 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 70 °Ct: 25 → 55 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.理想気体の状態方程式ふつう
150 g のHeV = 30 LT = 95 °CP = ?

容積 30 L のタンクに、温度 95 °C のHeが 150 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 150 gM = 4.003 g/molV = 30 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
6.理想気体の状態方程式むずかしい
N₂, M = 28.01 g/molP = 300 kPaT = 60 °Cρ = ?

300 kPa、60 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 300 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学量論ふつう
m(X)n(X)n(H2​O)m(H2​O)÷ M(X)× 2/ν× M(H2​O)

20 g の H2 と 48 g の O2 が 2H2 + O2 → 2H2O に従って反応します。生じうる H2O の質量 m はいくらですか？

M(H2) = 2.016M(O2) = 32M(H2O) = 18.02 g/mol
m = g
8.化学量論むずかしい
m(C3​H8​)n(C3​H8​)n(H2​O)m(H2​O)÷ M(C3​H8​)× 4/1× M(H2​O)

反応 C3H8 + 5O2 → 3CO2 + 4H2O で、20 g の C3H8 が完全に反応し（ほかの反応物は過剰）、29.75 g の H2O が得られました。収率 Y を求めなさい。

M(C3H8) = 44.1 g/molM(H2O) = 18.02 g/mol実際: 29.75 g
Y = %

3溶液

1.物質収支

答え: ṁ2 = 50 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 350·(10 − 15)/(15 − 50) = 50 kg/h

答え

ṁ2 = 50 kg/h
2.物質収支

答え: P = 400 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 2000·12/60 = 400 kg/h

答え

P = 400 kg/h
3.エネルギー収支

答え: tout = 52.63 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1.5·2.1·(170 − 60) = 346.5 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 346.5/(3·4.18) = 52.63 °C

答え

tout = 52.63 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 4.974 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 3·2.1·(180 − 70) = 693 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.1)·693 = 623.7 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 623.7/(4.18·30) = 4.974 kg/s

答え

ṁc = 4.974 kg/s
5.理想気体の状態方程式

答え: P = 3823 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 150/4.003 = 37.47 mol
T = 95 + 273.15 = 368.1 K

圧力

P = nRT/V = 37.47·8.314·368.1/0.03 = 3823 kPa

答え

P = 3823 kPa
6.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.034 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 300·28.01/(8.314·333.1) = 3.034 kg/m³

答え

ρ = 3.034 kg/m³
7.化学量論

答え: m = 54.06 g

化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。

各反応物の物質量

n(H2) = 20/2.016 = 9.921 mol
n(O2) = 48/32 = 1.5 mol

限定反応物

9.921/2 = 4.96, 1.5/1 = 1.5 → O2

生成物の質量

n(H2O) = 1.5·2 = 3 mol
m = 3·18.02 = 54.06 g

答え

m = 54.06 g
8.化学量論

答え: Y = 91.01 %

化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。

理論収量

n(C3H8) = 20/44.1 = 0.4535 mol
m = 0.4535·4/1·18.02 = 32.69 g

収率

Y = 29.75/32.69·100 = 91.01%

答え

Y = 91.01%

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