物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
物質・エネルギー収支：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
化学量論
- 物質量
- n = m/M
- 濃度
- c = n/V
- 物質量の比
- 釣り合った反応式の係数を使う
- 限定反応物
- 先になくなる物質
- 収率
- 実際の量 / 理論量 × 100%
解き方
- 化学反応式を書き、係数をそろえます。
- 与えられた質量を物質量に換算します：n = m/M。
- 係数を物質量の比として使い、求めたい物質の物質量を求めます。
- m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるときは、まず限定反応物を求めます。
2演習問題
1.物質収支ふつう
混合後の製品が砂糖を 40% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 750 kg/hx1 = 5 %x2 = 50 %x3 = 40 %
ṁ2 = kg/h
2.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。
F = 2300 kg/hxF = 12 %xP = 35 %
W = kg/h
3.エネルギー収支ふつう
高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 2.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 60 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 1.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 110 °Ct: 20 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.理想気体の状態方程式ふつう
100 kPa、65 °C において、CO₂ 30 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。
m = 30 gM = 44.01 g/molP = 100 kPaT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
6.理想気体の状態方程式むずかしい
400 kPa、10 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。
M = 28.01 g/molP = 400 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学量論ふつう
20 g の Mg と 24 g の O2 が 2Mg + O2 → 2MgO に従って反応します。生じうる MgO の質量 m はいくらですか？
M(Mg) = 24.31M(O2) = 32M(MgO) = 40.3 g/mol
m = g
8.化学量論むずかしい
反応 2Na + Cl2 → 2NaCl で、20 g の Na が完全に反応し（ほかの反応物は過剰）、46.26 g の NaCl が得られました。収率 Y を求めなさい。
M(Na) = 22.99 g/molM(NaCl) = 58.44 g/mol実際: 46.26 g
Y = %
3溶液
1.物質収支
答え: ṁ2 = 2625 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 750·(5 − 40)/(40 − 50) = 2625 kg/h
答え
ṁ2 = 2625 kg/h
2.物質収支
答え: W = 1511 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 2300·12/35 = 788.6 kg/h
全体収支
W = F − P = 2300 − 788.6 = 1511 kg/h
答え
W = 1511 kg/h
3.エネルギー収支
答え: tout = 122.1 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 2.5·2.1·(170 − 60) = 577.5 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 577.5/(1.5·4.18) = 122.1 °C
答え
tout = 122.1 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 1.268 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 1.5·3.6·(170 − 110) = 324 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.1)·324 = 291.6 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 291.6/(4.18·55) = 1.268 kg/s
答え
ṁc = 1.268 kg/s
5.理想気体の状態方程式
答え: V = 19.16 L
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = 30/44.01 = 0.6817 mol
T = 65 + 273.15 = 338.1 K
体積
V = nRT/P = 0.6817·8.314·338.1/100 = 19.16 L
答え
V = 19.16 L
6.理想気体の状態方程式
答え: ρ = 4.759 kg/m³
理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。
状態方程式を変形する
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 10 + 273.15 = 283.1 K
密度
ρ = 400·28.01/(8.314·283.1) = 4.759 kg/m³
答え
ρ = 4.759 kg/m³
7.化学量論
答え: m = 33.16 g
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
各反応物の物質量
n(Mg) = 20/24.31 = 0.8227 mol
n(O2) = 24/32 = 0.75 mol
限定反応物
0.8227/2 = 0.4114, 0.75/1 = 0.75 → Mg
生成物の質量
n(MgO) = 0.4114·2 = 0.8227 mol
m = 0.8227·40.3 = 33.16 g
答え
m = 33.16 g
8.化学量論
答え: Y = 90.99 %
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
理論収量
n(Na) = 20/22.99 = 0.8699 mol
m = 0.8699·2/2·58.44 = 50.84 g
収率
Y = 46.26/50.84·100 = 90.99%
答え
Y = 90.99%
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