物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
物質・エネルギー収支：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
化学量論
- 物質量
- n = m/M
- 濃度
- c = n/V
- 物質量の比
- 釣り合った反応式の係数を使う
- 限定反応物
- 先になくなる物質
- 収率
- 実際の量 / 理論量 × 100%
解き方
- 化学反応式を書き、係数をそろえます。
- 与えられた質量を物質量に換算します：n = m/M。
- 係数を物質量の比として使い、求めたい物質の物質量を求めます。
- m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるときは、まず限定反応物を求めます。
2演習問題
1.物質収支ふつう
混合後の製品が砂糖を 20% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 950 kg/hx1 = 40 %x2 = 5 %x3 = 20 %
ṁ2 = kg/h
2.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。
F = 1400 kg/hxF = 15 %xP = 60 %
W = kg/h
3.エネルギー収支ふつう
高温のグリコール混合液が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 140 → 90 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 170 → 60 °Ct: 25 → 75 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.理想気体の状態方程式ふつう
100 kPa、90 °C において、CO₂ 470 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。
m = 470 gM = 44.01 g/molP = 100 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
6.理想気体の状態方程式むずかしい
500 kPa、90 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。
M = 16.04 g/molP = 500 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学量論ふつう
16 g の N2 と 8 g の H2 が N2 + 3H2 → 2NH3 に従って反応します。生じうる NH3 の質量 m はいくらですか？
M(N2) = 28.02M(H2) = 2.016M(NH3) = 17.03 g/mol
m = g
8.化学量論むずかしい
反応 2Mg + O2 → 2MgO で、10 g の Mg が完全に反応し（ほかの反応物は過剰）、12.93 g の MgO が得られました。収率 Y を求めなさい。
M(Mg) = 24.31 g/molM(MgO) = 40.3 g/mol実際: 12.93 g
Y = %
3溶液
1.物質収支
答え: ṁ2 = 1267 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 950·(40 − 20)/(20 − 5) = 1267 kg/h
答え
ṁ2 = 1267 kg/h
2.物質収支
答え: W = 1050 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 1400·15/60 = 350 kg/h
全体収支
W = F − P = 1400 − 350 = 1050 kg/h
答え
W = 1050 kg/h
3.エネルギー収支
答え: tout = 63.06 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 3·3.6·(140 − 90) = 540 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 540/(3·4.18) = 63.06 °C
答え
tout = 63.06 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 1.8 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 1·3.6·(170 − 60) = 396 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.05)·396 = 376.2 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 376.2/(4.18·50) = 1.8 kg/s
答え
ṁc = 1.8 kg/s
5.理想気体の状態方程式
答え: V = 322.4 L
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = 470/44.01 = 10.68 mol
T = 90 + 273.15 = 363.1 K
体積
V = nRT/P = 10.68·8.314·363.1/100 = 322.4 L
答え
V = 322.4 L
6.理想気体の状態方程式
答え: ρ = 2.656 kg/m³
理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。
状態方程式を変形する
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 90 + 273.15 = 363.1 K
密度
ρ = 500·16.04/(8.314·363.1) = 2.656 kg/m³
答え
ρ = 2.656 kg/m³
7.化学量論
答え: m = 19.45 g
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
各反応物の物質量
n(N2) = 16/28.02 = 0.571 mol
n(H2) = 8/2.016 = 3.968 mol
限定反応物
0.571/1 = 0.571, 3.968/3 = 1.323 → N2
生成物の質量
n(NH3) = 0.571·2 = 1.142 mol
m = 1.142·17.03 = 19.45 g
答え
m = 19.45 g
8.化学量論
答え: Y = 78 %
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
理論収量
n(Mg) = 10/24.31 = 0.4114 mol
m = 0.4114·2/2·40.3 = 16.58 g
収率
Y = 12.93/16.58·100 = 78%
答え
Y = 78%
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