物質・エネルギー収支：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

エネルギー収支

顕熱
Q = ṁ·cp·ΔT
潜熱
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

化学量論

物質量
n = m/M
濃度
c = n/V
物質量の比
釣り合った反応式の係数を使う
限定反応物
先になくなる物質
収率
実際の量 / 理論量 × 100%

解き方

  1. 化学反応式を書き、係数をそろえます。
  2. 与えられた質量を物質量に換算します：n = m/M。
  3. 係数を物質量の比として使い、求めたい物質の物質量を求めます。
  4. m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるときは、まず限定反応物を求めます。

2演習問題

1.物質収支ふつう
ミキサー流れ 1350 kg/h · 35% 食塩流れ 2ṁ₂ = ? · 5% 食塩製品25% 食塩

混合後の製品が食塩を 25% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 350 kg/hx1 = 35 %x2 = 5 %x3 = 25 %
ṁ2 = kg/h
2.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F800 kg/h · 5% 砂糖製品 PP = ? · 30%蒸気 W（純水）0% 砂糖

蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。製品流量 Pを kg/h で求めよ。

F = 800 kg/hxF = 5 %xP = 30 %
P = kg/h
3.エネルギー収支ふつう
高温側低温側軽油 · 150 °C90 °C水 · 10 °Ct = ? °C

高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 90 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温側低温側エタノール · 180 °C80 °C水 · 25 °C55 °C · ṁ = ?損失 5%

高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 5% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 80 °Ct: 25 → 55 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.理想気体の状態方程式ふつう
70 g のHeP = 100 kPaT = 85 °CV = ?

100 kPa、85 °C において、He 70 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 70 gM = 4.003 g/molP = 100 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
6.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のN₂が 200 kPa、20 L、10 °C から 250 kPa、170 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 10 °CP2 = 250 kPaT2 = 170 °C
V2 = L
7.化学量論ふつう
m(X)n(X)n(H2​O)m(H2​O)÷ M(X)× 2/ν× M(H2​O)

20 g の H2 と 8 g の O2 が 2H2 + O2 → 2H2O に従って反応します。生じうる H2O の質量 m はいくらですか？

M(H2) = 2.016M(O2) = 32M(H2O) = 18.02 g/mol
m = g
8.化学量論むずかしい
m(H2​)n(H2​)n(H2​O)m(H2​O)÷ M(H2​)× 2/2× M(H2​O)

反応 2H2 + O2 → 2H2O で、30 g の H2 が完全に反応し（ほかの反応物は過剰）、236 g の H2O が得られました。収率 Y を求めなさい。

M(H2) = 2.016 g/molM(H2O) = 18.02 g/mol実際: 236 g
Y = %

3溶液

1.物質収支

答え: ṁ2 = 175 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
食塩: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 350·(35 − 25)/(25 − 5) = 175 kg/h

答え

ṁ2 = 175 kg/h
2.物質収支

答え: P = 133.3 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 800·5/30 = 133.3 kg/h

答え

P = 133.3 kg/h
3.エネルギー収支

答え: tout = 100.4 °C

熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

高温流体が放出する熱

Q = 1.5·2.1·(150 − 90) = 189 kW

水が受け取る熱

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 189/(0.5·4.18) = 100.4 °C

答え

tout = 100.4 °C
4.エネルギー収支

答え: ṁc = 3.697 kg/s

損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。

放出熱

Qh = 2·2.44·(180 − 80) = 488 kW

水に届く熱

Qc = (1 − 0.05)·488 = 463.6 kW

水の流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 463.6/(4.18·30) = 3.697 kg/s

答え

ṁc = 3.697 kg/s
5.理想気体の状態方程式

答え: V = 520.7 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 70/4.003 = 17.49 mol
T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体積

V = nRT/P = 17.49·8.314·358.1/100 = 520.7 L

答え

V = 520.7 L
6.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 25.04 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 283.1 K, T2 = 443.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/250)·(443.1/283.1) = 25.04 L

答え

V2 = 25.04 L
7.化学量論

答え: m = 9.01 g

化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。

各反応物の物質量

n(H2) = 20/2.016 = 9.921 mol
n(O2) = 8/32 = 0.25 mol

限定反応物

9.921/2 = 4.96, 0.25/1 = 0.25 → O2

生成物の質量

n(H2O) = 0.25·2 = 0.5 mol
m = 0.5·18.02 = 9.01 g

答え

m = 9.01 g
8.化学量論

答え: Y = 88 %

化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。

理論収量

n(H2) = 30/2.016 = 14.88 mol
m = 14.88·2/2·18.02 = 268.2 g

収率

Y = 236/268.2·100 = 88%

答え

Y = 88%

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