物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
物質・エネルギー収支：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
化学量論
- 物質量
- n = m/M
- 濃度
- c = n/V
- 物質量の比
- 釣り合った反応式の係数を使う
- 限定反応物
- 先になくなる物質
- 収率
- 実際の量 / 理論量 × 100%
解き方
- 化学反応式を書き、係数をそろえます。
- 与えられた質量を物質量に換算します：n = m/M。
- 係数を物質量の比として使い、求めたい物質の物質量を求めます。
- m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるときは、まず限定反応物を求めます。
2演習問題
1.物質収支ふつう
混合後の製品が砂糖を 35% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 800 kg/hx1 = 15 %x2 = 45 %x3 = 35 %
ṁ2 = kg/h
2.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。製品流量 Pを kg/h で求めよ。
F = 1400 kg/hxF = 17 %xP = 35 %
P = kg/h
3.エネルギー収支ふつう
高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温のエタノールが熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 10% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Ct: 25 → 40 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.理想気体の状態方程式ふつう
100 kPa、20 °C において、Ar 410 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。
m = 410 gM = 39.95 g/molP = 100 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
6.理想気体の状態方程式むずかしい
一定量のCO₂が 350 kPa、20 L、40 °C から 400 kPa、50 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。
P1 = 350 kPaV1 = 20 LT1 = 40 °CP2 = 400 kPaT2 = 50 °C
V2 = L
7.化学量論ふつう
30 g の CH4 と 48 g の O2 が CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O に従って反応します。生じうる H2O の質量 m はいくらですか？
M(CH4) = 16.04M(O2) = 32M(H2O) = 18.02 g/mol
m = g
8.化学量論むずかしい
反応 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 で、20 g の Al が完全に反応し（ほかの反応物は過剰）、89.94 g の AlCl3 が得られました。収率 Y を求めなさい。
M(Al) = 26.98 g/molM(AlCl3) = 133.33 g/mol実際: 89.94 g
Y = %
3溶液
1.物質収支
答え: ṁ2 = 1600 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 800·(15 − 35)/(35 − 45) = 1600 kg/h
答え
ṁ2 = 1600 kg/h
2.物質収支
答え: P = 680 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 1400·17/35 = 680 kg/h
答え
P = 680 kg/h
3.エネルギー収支
答え: tout = 17.92 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 0.5·2.44·(140 − 110) = 36.6 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 36.6/(3·4.18) = 17.92 °C
答え
tout = 17.92 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 0.8756 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 0.5·2.44·(120 − 70) = 61 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.1)·61 = 54.9 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 54.9/(4.18·15) = 0.8756 kg/s
答え
ṁc = 0.8756 kg/s
5.理想気体の状態方程式
答え: V = 250.1 L
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = 410/39.95 = 10.26 mol
T = 20 + 273.15 = 293.1 K
体積
V = nRT/P = 10.26·8.314·293.1/100 = 250.1 L
答え
V = 250.1 L
6.理想気体の状態方程式
答え: V2 = 18.06 L
ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。
絶対温度
T1 = 313.1 K, T2 = 323.1 K
ボイル・シャルルの法則
V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(350/400)·(323.1/313.1) = 18.06 L
答え
V2 = 18.06 L
7.化学量論
答え: m = 27.03 g
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
各反応物の物質量
n(CH4) = 30/16.04 = 1.87 mol
n(O2) = 48/32 = 1.5 mol
限定反応物
1.87/1 = 1.87, 1.5/2 = 0.75 → O2
生成物の質量
n(H2O) = 0.75·2 = 1.5 mol
m = 1.5·18.02 = 27.03 g
答え
m = 27.03 g
8.化学量論
答え: Y = 91 %
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
理論収量
n(Al) = 20/26.98 = 0.7413 mol
m = 0.7413·2/2·133.33 = 98.84 g
収率
Y = 89.94/98.84·100 = 91%
答え
Y = 91%
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