物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
物質・エネルギー収支：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
化学量論
- 物質量
- n = m/M
- 濃度
- c = n/V
- 物質量の比
- 釣り合った反応式の係数を使う
- 限定反応物
- 先になくなる物質
- 収率
- 実際の量 / 理論量 × 100%
解き方
- 化学反応式を書き、係数をそろえます。
- 与えられた質量を物質量に換算します：n = m/M。
- 係数を物質量の比として使い、求めたい物質の物質量を求めます。
- m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるときは、まず限定反応物を求めます。
2演習問題
1.物質収支ふつう
混合後の製品が砂糖を 15% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 750 kg/hx1 = 5 %x2 = 45 %x3 = 15 %
ṁ2 = kg/h
2.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、NaOH水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。
F = 4900 kg/hxF = 12 %xP = 35 %
W = kg/h
3.エネルギー収支ふつう
高温の軽油が、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 130 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温のグリコール混合液が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Ct: 30 → 65 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.理想気体の状態方程式ふつう
容積 50 L のタンクに、温度 15 °C のArが 90 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。
m = 90 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
6.理想気体の状態方程式むずかしい
250 kPa、170 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。
M = 32 g/molP = 250 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学量論ふつう
6 g の Na と 8 g の Cl2 が 2Na + Cl2 → 2NaCl に従って反応します。生じうる NaCl の質量 m はいくらですか？
M(Na) = 22.99M(Cl2) = 70.9M(NaCl) = 58.44 g/mol
m = g
8.化学量論むずかしい
反応 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 で、20 g の Al が完全に反応し（ほかの反応物は過剰）、84.01 g の AlCl3 が得られました。収率 Y を求めなさい。
M(Al) = 26.98 g/molM(AlCl3) = 133.33 g/mol実際: 84.01 g
Y = %
3溶液
1.物質収支
答え: ṁ2 = 250 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 750·(5 − 15)/(15 − 45) = 250 kg/h
答え
ṁ2 = 250 kg/h
2.物質収支
答え: W = 3220 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 4900·12/35 = 1680 kg/h
全体収支
W = F − P = 4900 − 1680 = 3220 kg/h
答え
W = 3220 kg/h
3.エネルギー収支
答え: tout = 20.05 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 0.5·2.1·(170 − 130) = 42 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 42/(1·4.18) = 20.05 °C
答え
tout = 20.05 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 3.137 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 3·3.6·(130 − 80) = 540 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.15)·540 = 459 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 459/(4.18·35) = 3.137 kg/s
答え
ṁc = 3.137 kg/s
5.理想気体の状態方程式
答え: P = 107.9 kPa
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = m/M = 90/39.95 = 2.253 mol
T = 15 + 273.15 = 288.1 K
圧力
P = nRT/V = 2.253·8.314·288.1/0.05 = 107.9 kPa
答え
P = 107.9 kPa
6.理想気体の状態方程式
答え: ρ = 2.171 kg/m³
理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。
状態方程式を変形する
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 170 + 273.15 = 443.1 K
密度
ρ = 250·32/(8.314·443.1) = 2.171 kg/m³
答え
ρ = 2.171 kg/m³
7.化学量論
答え: m = 13.19 g
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
各反応物の物質量
n(Na) = 6/22.99 = 0.261 mol
n(Cl2) = 8/70.9 = 0.1128 mol
限定反応物
0.261/2 = 0.1305, 0.1128/1 = 0.1128 → Cl2
生成物の質量
n(NaCl) = 0.1128·2 = 0.2257 mol
m = 0.2257·58.44 = 13.19 g
答え
m = 13.19 g
8.化学量論
答え: Y = 85 %
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
理論収量
n(Al) = 20/26.98 = 0.7413 mol
m = 0.7413·2/2·133.33 = 98.84 g
収率
Y = 84.01/98.84·100 = 85%
答え
Y = 85%
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