物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
物質・エネルギー収支：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
エネルギー収支
- 顕熱
- Q = ṁ·cp·ΔT
- 潜熱
- Q = ṁ·hfg
- 混合
- ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
- 水
- cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)
理想気体の状態方程式
- 理想気体の状態方程式
- pV = nRT
- 気体定数
- R = 8.314 J/(mol·K)
- ボイル・シャルルの法則
- p1V1/T1 = p2V2/T2
- 物質量
- n = m/M
- 温度
- T[K] = T[°C] + 273.15
化学量論
- 物質量
- n = m/M
- 濃度
- c = n/V
- 物質量の比
- 釣り合った反応式の係数を使う
- 限定反応物
- 先になくなる物質
- 収率
- 実際の量 / 理論量 × 100%
解き方
- 化学反応式を書き、係数をそろえます。
- 与えられた質量を物質量に換算します：n = m/M。
- 係数を物質量の比として使い、求めたい物質の物質量を求めます。
- m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるときは、まず限定反応物を求めます。
2演習問題
1.物質収支ふつう
混合後の製品が砂糖を 35% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 200 kg/hx1 = 20 %x2 = 40 %x3 = 35 %
ṁ2 = kg/h
2.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。
F = 2600 kg/hxF = 18 %xP = 30 %
W = kg/h
3.エネルギー収支ふつう
高温のエタノールが、熱損失のない向流熱交換器で水を冷やす。水の出口温度 tout を求めよ。
ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 60 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.エネルギー収支むずかしい
高温の軽油が熱交換器で水を加熱する。この熱交換器は高温流体が放出する熱の 15% を周囲に失う。必要な水の流量 ṁc を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 70 °Ct: 25 → 50 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)損失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.理想気体の状態方程式ふつう
600 kPa、100 °C において、N₂ 410 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。
m = 410 gM = 28.01 g/molP = 600 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
6.理想気体の状態方程式むずかしい
150 kPa、170 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。
M = 44.01 g/molP = 150 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学量論ふつう
16 g の Al と 80 g の Cl2 が 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 に従って反応します。生じうる AlCl3 の質量 m はいくらですか？
M(Al) = 26.98M(Cl2) = 70.9M(AlCl3) = 133.33 g/mol
m = g
8.化学量論むずかしい
反応 Fe2O3 + 3CO → 2Fe + 3CO2 で、24 g の Fe2O3 が完全に反応し（ほかの反応物は過剰）、12.59 g の Fe が得られました。収率 Y を求めなさい。
M(Fe2O3) = 159.69 g/molM(Fe) = 55.85 g/mol実際: 12.59 g
Y = %
3溶液
1.物質収支
答え: ṁ2 = 600 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 200·(20 − 35)/(35 − 40) = 600 kg/h
答え
ṁ2 = 600 kg/h
2.物質収支
答え: W = 1040 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 2600·18/30 = 1560 kg/h
全体収支
W = F − P = 2600 − 1560 = 1040 kg/h
答え
W = 1040 kg/h
3.エネルギー収支
答え: tout = 56.7 °C
熱交換器のエネルギー収支：損失がなければ ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。
高温流体が放出する熱
Q = 1·2.44·(140 − 60) = 195.2 kW
水が受け取る熱
tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 195.2/(1·4.18) = 56.7 °C
答え
tout = 56.7 °C
4.エネルギー収支
答え: ṁc = 0.9395 kg/s
損失のあるエネルギー収支：放出熱 = 吸収熱 + 損失熱。
放出熱
Qh = 0.5·2.1·(180 − 70) = 115.5 kW
水に届く熱
Qc = (1 − 0.15)·115.5 = 98.17 kW
水の流量
ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 98.17/(4.18·25) = 0.9395 kg/s
答え
ṁc = 0.9395 kg/s
5.理想気体の状態方程式
答え: V = 75.69 L
理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。
物質量
n = 410/28.01 = 14.64 mol
T = 100 + 273.15 = 373.1 K
体積
V = nRT/P = 14.64·8.314·373.1/600 = 75.69 L
答え
V = 75.69 L
6.理想気体の状態方程式
答え: ρ = 1.792 kg/m³
理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。
状態方程式を変形する
PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 170 + 273.15 = 443.1 K
密度
ρ = 150·44.01/(8.314·443.1) = 1.792 kg/m³
答え
ρ = 1.792 kg/m³
7.化学量論
答え: m = 79.07 g
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
各反応物の物質量
n(Al) = 16/26.98 = 0.593 mol
n(Cl2) = 80/70.9 = 1.128 mol
限定反応物
0.593/2 = 0.2965, 1.128/3 = 0.3761 → Al
生成物の質量
n(AlCl3) = 0.2965·2 = 0.593 mol
m = 0.593·133.33 = 79.07 g
答え
m = 79.07 g
8.化学量論
答え: Y = 75 %
化学量論：化学反応式は粒子の数を表し、グラム数ではありません。n = m/M で質量を物質量に換算し、反応式の係数を物質量の比として使い、m = n·M で質量に戻します。反応物が 2 つあるとき、限定反応物は先になくなり、生成物の量を決めるほうです。
理論収量
n(Fe2O3) = 24/159.69 = 0.1503 mol
m = 0.1503·2/1·55.85 = 16.79 g
収率
Y = 12.59/16.79·100 = 75%
答え
Y = 75%
ExamProblems · examproblems.com/courses/material-and-energy-balances