計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

図のブリッジの、出力端子 a、b から見たテブナン抵抗 R_th を求めなさい。

V_s = 2 VR₁ = 10 ΩR₂ = 600 ΩR₃ = 300 ΩR₄ = 50 Ω

R_th = Ω

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

ゲージ率 2.12 の 350 Ω のひずみゲージを鋼棒に接着します。荷重がかかると抵抗が 0.371 Ω 増加します。ひずみ ε をマイクロストレイン (µε) で求めなさい。

R = 350 ΩGF = 2.12ΔR = 0.371 Ω

ε = µε

3.データ収録とサンプリングふつう

レコーダが 2 チャネルを各 1 kHz、12 ビット ADC でサンプリングします。各サンプルは整数バイトで保存されます。1 分間の記録に必要なメモリ M を MB（1 MB = 10⁶ バイト）で求めなさい。

n = 2f_s = 1 kHzN = 12t = 1 min

M = MB

4.データ収録とサンプリングむずかしい

オーディオの測定で、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比が少なくとも 60 dB 必要です。ADC の最小ビット数 N を求めなさい。

SQNR ≥ 60 dB

N =

5.オペアンプ回路ふつう

差動増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、R₃ = R₁、R₄ = R₂ である。反転入力の電圧 V₋ を求めよ。

V₁ = 1 VV₂ = 0.2 VR₁ = R₃ = 4.7 kΩR₂ = R₄ = 47 kΩ

V₋ = V

6.オペアンプ回路むずかしい

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。出力電圧 V_out を求めよ。

V₁ = −1.8 VV₂ = 1.6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

7.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

8.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

9.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン抵抗 R_th を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.テブナン・ノートンむずかしい

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 18 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: R_th = 52.69 Ω

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

電源を短絡した状態

R₁∥R₂ = 10·600/610 = 9.836 Ω

R₃∥R₄ = 300·50/350 = 42.86 Ω

テブナン抵抗

R_th = 52.69 Ω

答え

R_th = 52.69 Ω

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ε = 500 µε

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 0.371/350 = 0.00106

ひずみ

ε = 0.00106/2.12 = 0.0005 = 500 µε

答え

ε = 500 µε

3.データ収録とサンプリング

答え: M = 0.24 MB

データレート：各チャネルは毎秒 f_s 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートはチャネル数 × f_s × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリはチャネル数 × f_s × 1 サンプルのバイト数 × 時間です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。

1 サンプルのバイト数

⌈12/8⌉ = 2 B

バイトレート

2·1000·2 = 4000 B/s

メモリ

M = 4000·60 = 240000 B = 0.24 MB

答え

M = 0.24 MB

4.データ収録とサンプリング

答え: N = 10

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

N について解く

N ≥ (60 − 1.76)/6.02 = 9.674

切り上げる

N = 10

確認: 6.02·10 + 1.76 = 61.96 dB ≥ 60 dB

答え

N = 10

5.オペアンプ回路

答え: V₋ = 0.1818 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力の電圧

R₃ と R₄ には同じ電流が流れるので分圧回路をつくり、帰還により V₋ = V₊ となります。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.2·47/(4.7 + 47) = 0.1818 V

V₋ = V₊

答え

V₋ = 0.1818 V

6.オペアンプ回路

答え: V_out = 0.367 V

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I₁ = V₁/R₁ = −1.8/4.7 = −0.383 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.6/100 = 0.016 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.367 mA

出力電圧

V_out = −R_f·I_f = −1·(−0.367) = 0.367 V

答え

V_out = 0.367 V

7.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.7059 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_eq = R₁ + 4.286 = 20 + 4.286 = 24.29 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/24.29 = 0.9882 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0.9882·20 = 4.235 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.235/6 = 0.7059 A

答え

I_R2 = 0.7059 A

8.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.7425 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 3 + 6 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 2.25 Ω

R₃ + 2.25 = 22.25 Ω

R₂ ∥ 22.25 = 8.96 Ω

R_eq = R₁ + 8.96 = 20 + 8.96 = 28.96 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/28.96 = 1.243 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1.243·20 = 11.14 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.14/15 = 0.7425 A

答え

I_R2 = 0.7425 A

9.テブナン・ノートン

答え: R_th = 11.16 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 4·15/(4+15) = 3.158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.158 + 8 = 11.16 Ω

10.テブナン・ノートン

答え: I_N = −1.955 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 3 = 7.615 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.154 + (−2.5)·4.615 = −7.385 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −7.385 + (−2.5)·3 = −14.88 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = −14.88/7.615 = −1.955 A

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計測と計装：直前対策パック

1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

電源を短絡した状態

テブナン抵抗

答え

抵抗の相対変化

ひずみ

答え

1 サンプルのバイト数

バイトレート

メモリ

答え

N について解く

切り上げる

答え

入力の電圧

答え

入力電流

出力電圧

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

R₂ を流れる電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

R₂ を流れる電流

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

すべての電源を止めて R_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める