計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

図のブリッジの、出力端子 a、b から見たテブナン抵抗 R_th を求めなさい。

V_s = 9 VR₁ = 300 ΩR₂ = 800 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 800 Ω

R_th = Ω

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

350 Ω の辺をもつブリッジに 3 V を加え、隣り合う辺にアクティブゲージ 2 枚、1 枚は引張、1 枚は圧縮（1/2 ブリッジ）とします。ゲージ率は 2、ひずみは 500 µε です。ブリッジの出力 V_o を mV で求めなさい。

V_s = 3 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

3.データ収録とサンプリングふつう

入力範囲が 0〜2.5 V の ADC が、5 mV 以下のステップを分解しなければなりません。最小のビット数 N を求めなさい。

V_FSR = 2.5 V分解能 = 5 mV

N =

4.データ収録とサンプリングむずかしい

1.92 kHz の方形波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 8 kHz でサンプリングします。方形波には奇数次の高調波 3f₁、5f₁、7f₁、… が含まれます。サンプリングされたデータでは、高調波 3f₁ はどの周波数 f_a に現れますか。Hz で答えなさい。

f₁ = 1.92 kHzf_s = 8 kHz高調波: 3f₁

f_a = Hz

5.オペアンプ回路ふつう

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。出力は ±14 V で飽和する。非反転増幅器を正弦波で駆動する。出力がクリップしない最大の入力振幅 V_in,max（最大値）を求めよ。

R₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

6.オペアンプ回路むずかしい

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。出力電圧 V_out を求めよ。

V₁ = 1.3 VV₂ = −0.5 VR₁ = 2 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

7.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

9.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン抵抗 R_th を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

10.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 8 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 I_L を求めよ。

V₁ = 36 VI_s = 0.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: R_th = 237.7 Ω

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

電源を短絡した状態

R₁∥R₂ = 300·800/1100 = 218.2 Ω

R₃∥R₄ = 20·800/820 = 19.51 Ω

テブナン抵抗

R_th = 237.7 Ω

答え

R_th = 237.7 Ω

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: V_o = 1.5 mV

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0.001

ブリッジの出力

V_o = V_s·GF·ε/2 = 3·0.001/2 = 1.5 mV

答え

V_o = 1.5 mV

3.データ収録とサンプリング

答え: N = 9

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

2500 mV/5 mV = 500

ビット数

log₂(500) = 8.966

2⁸ = 256 < 500 ≤ 2⁹ = 512

N = 9

答え

N = 9

4.データ収録とサンプリング

答え: f_a = 2240 Hz

サンプリング：ADC は信号を毎秒 f_s 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < f_s/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、f_a = |f − k·f_s| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から f_s/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、f_s/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。

高調波の周波数

3f₁ = 3·1.92 kHz = 5.76 kHz

サンプリング周波数の最も近い整数倍

m = round(0.72) = 1

エイリアス周波数

f_a = |5760 − 1·8000| = 2240 Hz

答え

f_a = 2240 Hz

エイリアスは信号帯域の内側に落ち、どんなデジタルフィルタでも除去できません。ADC の前に置くアナログフィルタだけが有効です。

5.オペアンプ回路

答え: V_in,max = 2.333 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

利得

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 10/2 = 6

クリップ前の最大入力

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/6 = 2.333 V

答え

V_in,max = 2.333 V

6.オペアンプ回路

答え: V_out = −1.255 V

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I₁ = V₁/R₁ = 1.3/2 = 0.65 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.5/22 = −0.02273 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.6273 mA

出力電圧

V_out = −R_f·I_f = −2·0.6273 = −1.255 V

答え

V_out = −1.255 V

7.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 1.167 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 12 + 8.571 = 20.57 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/20.57 = 1.167 A

答え

I_R1 = 1.167 A

8.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 10.8 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 20 + 20 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 4.444 Ω

R₃ + 4.444 = 9.444 Ω

R₂ ∥ 9.444 = 5.795 Ω

R_eq = R₁ + 5.795 = 5 + 5.795 = 10.8 Ω

答え

R_eq = 10.8 Ω

9.テブナン・ノートン

答え: R_th = 5.429 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.429 + 2 = 5.429 Ω

10.テブナン・ノートン

答え: I_L = 1.404 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 20 = 21.71 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 30.86 + 0.5·1.714 = 31.71 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 31.71 + 0.5·20 = 41.71 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 41.71/(21.71 + 8) = 1.404 A

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計測と計装：直前対策パック

1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

電源を短絡した状態

テブナン抵抗

答え

抵抗の相対変化

ブリッジの出力

答え

必要なステップ数

ビット数

答え

高調波の周波数

サンプリング周波数の最も近い整数倍

エイリアス周波数

答え

利得

クリップ前の最大入力

答え

入力電流

出力電圧

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

すべての電源を止めて R_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める