計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
排泄量
Vab = Va − Vb
出納
R1/R2 = R3/R4
スライドワイヤブリッジ
R/Rx = l/(100 − l)
テブナン抵抗
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
ゲージ率
ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力
1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
微小変化、1 辺のみ
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
応力
σ = E·ε

解き方

  1. ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
  2. 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
  3. 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
  4. ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
非反転増幅器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加算増幅器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想オペアンプ
V+ = V−, Iin = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
+−15 V470 Ω470 Ω + ΔR470 Ω470 Ωab+−Vab​ = ?

4 つの辺がすべて 470 Ω のブリッジで、Vs = 15 V です。センサ R₂ が ΔR = 47 Ω だけ増加します。厳密な出力 Vab を mV で求めなさい。

Vs = 15 VR = 470 ΩΔR = 47 Ω
Vab = mV
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
+−10 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vo​

1/4 ブリッジ（アクティブゲージ 1 枚、GF = 2.1）に 10 V を加えます。測定する最大のひずみは 400 µε で、そのときアナログ–デジタル変換器の入力で 5 V にしなければなりません。増幅器のゲイン G を求めなさい。

Vs = 10 VGF = 2.1εmax = 400 µεVFS = 5 V
G =
3.データ収録とサンプリングふつう
tTs​ = 1/fs​f = 1.3 kHzfs​ = 1 kHz

1.3 kHz の正弦波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 1 kHz でサンプリングします。サンプル中ではどの周波数 fa に現れますか。Hz で答えなさい。

f = 1.3 kHzfs = 1 kHz
fa = Hz
4.データ収録とサンプリングむずかしい
T1 mV/°C×1∿01N = 10, 5 V? °C/LSB

温度センサが 1 mV/°C（0 °C で 0 V）を出力します。その信号を 1 倍に増幅し、入力範囲 0〜5 V の 10 ビット ADC に入力します（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。1 LSB に対応する温度変化 ΔTLSB を求めなさい。

S = 1 mV/°CG = 1N = 10VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C
5.オペアンプ回路ふつう
−+Vout​Rf​ = 1 kΩR1​ = 1 kΩVin​ = −1.5 VRa​ = 10 kΩRb​ = 2 kΩ

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 出力電圧 Vout を求めよ。

Vin = −1.5 VRa = 10 kΩRb = 2 kΩR1 = 1 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
6.オペアンプ回路むずかしい
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩV1​ = −1.6 VR1​ = 1 kΩV2​ = 0.2 VR2​ = 22 kΩ

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。 出力電圧 Vout を求めよ。

V1 = −1.6 VV2 = 0.2 VR1 = 1 kΩR2 = 22 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩIR2​AR4​20 ΩB

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​20 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 25 ΩR5 = 12 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab

端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。

V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
10.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAIs​4 ABRL​15 ΩIL​

a–b 間に負荷 RL = 15 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。

V1 = 30 VIs = 4 AR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩRL = 15 Ω
IL = A

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: Vab = 357.1 mV

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。

節点電圧

Va = 15·517/987 = 7.857 V
Vb = 7.5 V

排泄量

Vab = 357.1 mV

答え

Vab = 357.1 mV

線形の見積もり Vs·ΔR/(4R) = 375 mV は 5 % 大きすぎます：1/4 ブリッジは完全には線形ではありません。

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: G = 2381

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

フルスケールでのブリッジ出力

Vo = 2.1 mV

利得

G = 5/0.0021 = 2381

答え

G = 2381
3.データ収録とサンプリング

答え: fa = 300 Hz

サンプリング：ADC は信号を毎秒 fs 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < fs/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、fa = |f − k·fs| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から fs/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、fs/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。

ナイキスト周波数

fs/2 = 500 Hz < f = 1.3 kHz

サンプリング周波数の最も近い整数倍

k = round(1300/1000) = 1

エイリアス周波数

fa = |1300 − 1·1000| = 300 Hz

答え

fa = 300 Hz

図の破線の曲線がエイリアスで、まったく同じサンプルを通る。

4.データ収録とサンプリング

答え: ΔTLSB = 4.883 °C

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 5000/1024 = 4.883 mV

ADC での感度

1·1 = 1 mV/°C

温度分解能

ΔTLSB = 4.883/1 = 4.883 °C

答え

ΔTLSB = 4.883 °C

ADC は 5000 °C でフルスケールに達します。

5.オペアンプ回路

答え: Vout = −0.5 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

+ 入力の電圧

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −1.5·2/(10 + 2) = −0.25 V

非反転増幅の利得

V₋ = V₊ で、R₁ を流れる電流は Rf も流れます。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −0.25·(1 + 1/1) = −0.5 V

答え

Vout = −0.5 V
6.オペアンプ回路

答え: Vout = 7.477 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I1 = V1/R1 = −1.6/1 = −1.6 mA
I2 = V2/R2 = 0.2/22 = 0.009091 mA
If = I1 + I2 = −1.591 mA

出力電圧

Vout = −Rf·If = −4.7·(−1.591) = 7.477 V

答え

Vout = 7.477 V
7.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 0.4459 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​20 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 8·22/(8+22) = 5.867 Ω
Req = R1 + 5.867 = 4 + 5.867 = 9.867 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 6/9.867 = 0.6081 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.6081·4 = 3.568 V
IR2 = VA/R2 = 3.568/8 = 0.4459 A

答え

IR2 = 0.4459 A
8.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 0.4803 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​25 ΩBR6​20 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 12 + 20 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 14.04 Ω
R3 + 14.04 = 20.04 Ω
R2 ∥ 20.04 = 10.01 Ω
Req = R1 + 10.01 = 15 + 10.01 = 25.01 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 24/25.01 = 0.9597 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 0.9597·15 = 9.605 V
IR2 = VA/R2 = 9.605/20 = 0.4803 A

答え

IR2 = 0.4803 A
9.テブナン・ノートン

答え: Vth = 4.412 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω短絡R2​5 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 10 = 13.53 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·5/(12+5) = 4.412 V
10.テブナン・ノートン

答え: IL = −2.623 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω短絡R2​4 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3.158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.158 + 30 = 33.16 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6.316 + (−4)·3.158 = −6.316 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −6.316 + (−4)·30 = −126.3 V
Rth​ = 33.16 Ω−+Vth​126.3 VRL​15 ΩIL​

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

IL = Vth/(Rth + RL) = −126.3/(33.16 + 15) = −2.623 A

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