軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 100 N·m でねじる。標点距離 300 mm の両端は互いに 13.3° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 100 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 13.3°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 50 kWN = 1800 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 3 kN/m（0 から 8 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 40 kN 位置 2 mw = 3 kN/m（0 から 4 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 100 mm の底板と、全高 120 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 8 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。
b = 100 mmh = 120 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 200 mm の板に、幅 60 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 140 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 60 × 50 mm穴の中心: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 140 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 140 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 60° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 28 kNw = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.09986 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·5027 = 6.008 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·600/6.008 × 10⁸ = 0.09986 mm
答え
δ = 0.09986 mm
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 415.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6.919 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0006, 0.0006364) = 0.0006 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0006·6.919 × 10⁸ = 415161 N = 415.2 kN
答え
Pmax = 415.2 kN
3.軸のねじり
答え: G = 26 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 13.3·π/180 = 0.2321 rad
横弾性係数
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·300/(4970·0.2321) = 26003 MPa
G = 26 GPa
答え
G = 26 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: τmax = 4.646 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 265258·37.5/2.141 × 10⁶ = 4.646 MPa
答え
τmax = 4.646 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 23.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·8·4
RB = 96/8 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
x = 4.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 12·4.5 − 3·4.5·2.25 = 23.63 kN·m
答え
Mx = 23.63 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 12.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 3·4·2
RB = 104/4 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 26 = 26 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 26·0.5 − 3·0.5·0.25 = 12.63 kN·m
答え
Mx = 12.63 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: ȳ = 45.48 mm
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 100·8 = 800 mm², y1 = 4 mm
2 本の脚: A2 = 2·8·112 = 1792 mm², y2 = 8 + 112/2 = 64 mm
図心
ȳ = (800·4 + 1792·64)/2592 = 45.48 mm
答え
ȳ = 45.48 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 60.39 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (20000·100 − 3000·140)/(20000 − 3000) = 92.94 mm
ȳ まわりの全体の板
100·200³/12 + 20000·7.059² = 67.66 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
60·50³/12 + 3000·47.06² = 7.269 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 60.39 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 60.39 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −76.72 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −40/44.72 = −0.8944, sin 2θs = −20/44.72 = −0.4472
2θs = atan2(−20, −40) = −153.4°
要素上の角度
θs = −76.72°
確認: θs − θp = −76.72 − (−31.72) = −45°
答え
θs = −76.72°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 137 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 60 + −50·−0.5 + 60·0.866 = 137 MPa
答え
σθ = 137 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 57.14 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 57.14 mm
答え
δ = 57.14 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 79.9 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 28000 N, w = 4 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 28000·5000³/(48·1.32 × 10¹²) = 55.24 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 24.66 mm
足し合わせる
δmax = 55.24 + 24.66 = 79.9 mm
答え
δmax = 79.9 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 48.83 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·1500 = 750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/750² = 48835 N = 48.83 kN
答え
Pcr = 48.83 kN
14.柱の座屈
答え: d = 26.8 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 26.8 mm
答え
d = 26.8 mm
確認：細長比 KL/r は 149.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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