材料力学：練習問題と試験問題

材料強度学とも呼ばれ、棒、軸、はり、柱の応力、ひずみ、変形を扱います。試験問題は静力学のステップ（断面力）と材料のステップ（応力またはたわみ）を組み合わせるので、最初のステップの誤りがそのまま後に響きます。

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この科目のトピック

材料力学の試験のコツ

単位をそろえましょう。ニュートンとミリメートルを使えば、応力はそのまま MPa で得られます。
ねじりでは、τ = T·r/J に直径ではなく半径を使います。
座屈では端部の支持条件を確認しましょう。有効長さによって座屈荷重は最大 16 倍変わります。

解答例

軸応力とひずみやさしい

鋼の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、銅でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。棒の圧縮応力 σ_r を求めなさい。

P = 300 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

求めるもの： σ_r (MPa)

ヒントを表示

剛な板：棒と管は同じ量だけ縮むので、ε はどちらも同じです。
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

答えとステップごとの解答を表示

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5890 = 8.482 × 10⁸ N

共通のひずみ

ε = 300000/8.482 × 10⁸ = 0.0003537

棒の応力

σ_r = 200·10³·0.0003537 = 70.74 MPa

答え

σ_r = 70.74 MPa

軸のねじりふつう

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

求めるもの： φ (°)

ヒントを表示

φ = TL/(GJ) を使います。結果はラジアンです。
すべて N と mm で計算します：T は N·mm、L は mm、G は MPa (GPa × 1000)、J は mm⁴。
J = 251327 mm⁴.

答えとステップごとの解答を表示

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0.1148 rad

φ = 0.1148·180/π = 6.576°

答え

φ = 6.576°

練習のしかた

「この科目を練習する」では、本番の試験のように、すべてのトピックの問題が混ざって出題されます。
問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
模擬試験には制限時間があり、ヒントはありません。最後にスコアと詳しい振り返りが表示されます。

この科目の計算ツール

はりのたわみの計算ツールせん断力図・曲げモーメント図計算機軸のねじりの計算ツール軸応力とひずみの計算ツールオイラー座屈の計算ツールモールの応力円の計算ツール断面二次モーメントの計算ツール曲げ応力の計算ツール（σ = My/I）熱膨張の計算ツール図心の計算ツール（組み合わせ図形と多角形）