図心と断面二次モーメント：ステップごとの解答つき練習問題

1なぜ断面の形が重要なのか

梁をまっすぐ横に切って、その切断面を見てください。その形が断面、または単にセクションです。

100 × 20 mm の木の板を考えます。隙間の上に平らに渡すと大きくたわみます。同じ板を縁を下にして立てると、面積はまったく同じなのに、はるかに硬くなります。

大切なのは、材料が、梁が曲がる軸からどれだけ離れているかです。その軸から遠い材料は、はるかに大きく働きます。

2 つの性質がこれを表します。図心は断面の幾何学的な中心で、梁はそれを通る軸まわりに曲がります。断面二次モーメント I は、面積がその軸からどれだけ広がっているかを測ります。

2組み合わせ断面の図心

長方形の図心は真ん中にあります。T 形のような多くの梁の断面は、長方形からできています。

断面を長方形に分けます。それぞれについて、面積 A_i と、1 つの基準線（通常は下端）から測ったその図心の高さ y_i を求めます。

断面全体の図心は、それらの高さを面積で重みづけした平均です。

大きな部分は、図心を自分のほうへ引き寄せます。フランジが上にある T 形断面では、図心は半分の高さより上にあります。

3断面二次モーメント

幅 b、高さ h の長方形で、自身の図心を通る水平軸まわりに曲げる場合：

高さは 3 乗されるので、縁を立てた板が 25 倍硬くなるのです：20·100³ / (100·20³) = 25。

組み合わせ断面では、各部分は全体の図心を通る軸から、ある距離 d にあります。平行軸の定理は、そのずれの分の項を加えます。

単位は mm⁴ です。数が大きくなるので、答えはしばしば「× 10⁶ mm⁴」で与えられます。

I が求まれば、図心軸から距離 y の位置での曲げ応力は、曲げモーメント M から求まります。

4ステップごとの方法

1. 断面を長方形に分け、番号をつけます。
2. 各部分について：面積 A_i と図心の高さ y_i、すべて下端から測ります。
3. 図心：ȳ = ΣA_iy_i / ΣA_i。
4. 各部分について：自身の I_c = bh³/12 と距離 d_i = y_i − ȳ。
5. 足し合わせる：I = Σ(I_c,i + A_id_i²)。
6. 応力が問われたら：σ = M·y/I。y は軸から、必要な縁までの距離です。

A、y、A·y、I_c、d、A·d² の列をもつ小さな表をつくると、すべてが整理できます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• A·d² の項を忘れること。これがないと、各部分の自身の I の値を足しただけになり、はるかに小さくなります。
• 高さ y_i を異なる基準線から測ること。下端を選び、それを貫きましょう。
• 全体の図心ではなく、下端からの d を使うこと。
• bh³/12 で b と h を取り違えること。曲げの軸に直角な寸法が 3 乗されます。
• σ = M·y/I で、間違った縁の距離を使うこと。軸から最も遠い縁が、最大の応力を受けます。

7試験問題の例

• やさしい：図心。T 形断面の下端からの ȳ を求めます。バリエーション：山形断面、あるいは単一の長方形、円（πd⁴/64）、箱形の I。
• ふつう：断面二次モーメント。T 形断面の図心軸まわりの I_x を求めます。バリエーション：I 形断面、溝形断面、断面二次半径 r = √(I/A)。
• むずかしい：曲げ応力。T 形断面がモーメント M を受けます。上端または下端の応力を σ = M·y/I で求めます。

与えられる寸法は、フランジの b_f と t_f、ウェブの t_w と h_w です。