せん断力と曲げモーメント：ステップごとの解答つき練習問題

1梁の内部で何が起きているか

反力のレッスンでは、梁にはたらく外からの力を求めました。今度は内部を見てみましょう。梁のある点で、材料は何を支えなければならないのでしょうか？

梁をある点でのこぎりで 2 つに切ったと想像してください。どちらの半分も落ちてしまいます。固定したままにするには、もう一方の半分が 2 つの内部作用で支えなければなりません。

• せん断力 V は、一方がもう一方に対して上下にずれるのを防ぎます（kN）。
• 曲げモーメント M は、一方がもう一方に対して回転するのを防ぎます（kN·m）。

下側が引き伸ばされて笑顔のように曲がる梁は正曲げ（たわみ）です。バルコニーのように、しかめっ面のように曲がる梁は負曲げです。

技術者が M を必要とするのは、梁の曲げ応力がそれとともに大きくなるからです。V を必要とするのは、支点の近くで梁がせん断で破断してはならないからです。

2切断法

A から距離 x の点での V と M を求めるには、そこで梁を切り、切断面より左の部分だけを残します。その部分は、それだけで釣り合っています。

通常の符号規則：左側部分への上向きの力はせん断力を正とし、正曲げのモーメントを正とします。これで 2 つの簡単な手順が得られます。

• せん断力：V = R_A から、切断面より左にあるすべての下向き荷重を引いたもの。
• 曲げモーメント：M = R_A·x から、切断面より左にある各荷重について、荷重と切断面までの距離の積を引いたもの。

切断面より左にある等分布荷重の部分は、反力のレッスンと同じく、その中央に作用する 1 つの力 w·ℓ として扱います。

代わりに右側の部分を残してもかまいません。V と M は同じになるので、よい検算になります。

3図と最大モーメント

すべての x で V と M を計算すると、せん断力図と曲げモーメント図が得られます。それらの形は、簡単な規則に従います。

• 集中荷重と集中荷重の間では、V は一定で、M は直線です。
• 等分布荷重の下では、V は直線的に下がり、M は曲線（放物線）です。
• 集中荷重があると、V はその荷重の大きさだけ跳びます。
• M は、V の符号が変わってゼロを通る点で最大になります。

次の 2 つの結果はとてもよく出てくるので、覚えておく価値があります。

• スパン中央の集中荷重 P：M_max = P·L / 4
• スパン全体にわたる等分布荷重 w：M_max = w·L² / 8

4ステップごとの方法

1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
2. 断面 x で梁を切り、左側の部分を残します。
3. せん断力：V = R_A から、左側の部分のすべての下向き荷重を引いたもの。
4. 曲げモーメント：M = R_A·x から、左側の部分の各荷重と切断面までの距離の積を引いたもの。
5. 最大モーメントは、V = 0 となる位置を見つけ、そこで M を計算します。

左側の部分を小さな別のスケッチとして描きましょう。どの荷重を含めるかがはっきりします。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 切断面の両側の荷重を含めてしまうこと。残した側だけを使います。
• てこの腕の長さを、切断面からではなく A から測ってしまうこと。M では、各距離は荷重から切断面までです。
• M を求められているのに V で答える、またはその逆。単位が kN か kN·m かを確認しましょう。
• 切断面より左の部分だけでなく、等分布荷重の全体を使ってしまうこと。
• 符号規則を混同すること。通常の規則では、下向きの荷重を受ける単純支持梁のモーメントは、どこでも正（正曲げ）になります。

7試験問題の例

• やさしい：集中荷重が 1 つ。荷重の位置での M、またはそのすぐ隣での V を求めます。片持ち梁を使う変形もあり、その場合は壁で M が最大になります。
• ふつう：例題のように、スパン全体にわたる等分布荷重。ある x での V や M、または最大モーメントを求めます。
• むずかしい：集中荷重と等分布荷重の組み合わせ、または部分的な等分布荷重。ある断面での M、または V = 0 となる位置での最大モーメントを求めます。

支点の外側に張り出した梁を使うバージョンもあります。張り出し部は負曲げなので、そこでは M は負になります。

必ず反力から始め、スケッチに書き込みましょう。