柱の座屈：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の柱の座屈練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：両端ピン, その他の端部条件, 設計と座屈応力。

無料の練習問題やさしい
PL = 2.5 m40 × 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 80 mm
kN
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練習する内容

  1. やさしい両端ピン
  2. ふつうその他の端部条件
  3. むずかしい設計と座屈応力

重要な公式

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

柱の座屈をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： 図心と断面二次モーメント

1座屈とは何か

プラスチックの定規の両端を押してみてください。最初は何も起きないように見えます。それから突然、横にたわみます。これが座屈です。

柱は、長さ方向に圧縮荷重を受ける部材です。建物の柱、屋根の支柱、ピストンロッドなどがあります。

PL

短くて太い柱は、圧壊で破壊します。応力 P/A が材料の強度に達するのです。長くて細い柱は、応力がまだその強度よりずっと低いうちに、はるかに小さい荷重で座屈します。

細長い柱が座屈する荷重を臨界荷重 Pcr といいます。それを超えると、柱は不安定になり、崩れます。

セルフチェック 同じ断面をもつ 2 本の鋼の柱があります。1 本は長さ 2 m、もう 1 本は 4 m です。どちらがより小さな荷重で座屈しますか？
  1. 2 m の柱
  2. 4 m の柱
  3. どちらでもない：鋼の柱は座屈しない
  4. どちらも同じ荷重で

答え: 4 m の柱. 長い柱ほど細長く、座屈しやすくなります。座屈では、長さが最も重要な要因です。

2オイラーの公式

レオンハルト・オイラーは、細長い柱の臨界荷重を求めました。

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E は材料のヤング率で、鋼では 200 GPa です。
  • I は断面の断面二次モーメントです。最小のものを使います。柱は曲がりやすい方向に曲がるからです。
  • L は長さ、K は有効長さ係数で、端部の支持のされ方で決まります。
K = 1K = 2K = 0.7K = 0.5

ピン支持の端は回転できますが、固定端は回転できません。端部をしっかり支えると、有効長さ KL が短くなり、KL は 2 乗されるので Pcr がずっと大きくなります。

円形の棒では I = π·d⁴/64 です。b × h の長方形では、b を短い辺として Imin = h·b³/12 です。

セルフチェック 両端ピン支持の柱の Pcr は 100 kN です。同じ柱を、下端固定・上端自由（K = 2）にしました。Pcr はいくらになりますか？
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

答え: 25 kN. Pcr は K² = 4 で割られます：100/4 = 25 kN。50 kN は K を 2 乗し忘れた値で、200 kN と 400 kN は割る代わりに掛けた値です。

3細長さと臨界応力

Pcr を断面積で割ると臨界応力になります。断面二次半径 r と細長比 λ（ラムダ）を使うと、最もすっきり書けます。

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

中実の円形の棒では、r = d/4 です。

オイラーの式は、σcr が材料の降伏応力より低い間だけ成り立ちます。構造用鋼では、細長比がおよそ λ > 100 ということです。もっとずんぐりした柱は、降伏、またはその両方が混ざった形で破壊し、別の設計規則が必要です。

セルフチェック 長方形の柱の断面は 20 mm × 40 mm です。最小の断面二次モーメントはいくらですか？
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

答え: 26 667 mm⁴. 弱軸では短い辺を 3 乗します：40·20³/12 = 26 667 mm⁴。106 667 は強軸の値、320 000 は /12 を忘れた値、7854 は円の式を使った値です。

4ステップごとの方法

  1. 端部条件を読み取り、K を選びます：1、2、0.7、または 0.5。
  2. 断面の最小の I を mm⁴ で求めます。
  3. N と mm に換算します：L は mm、E は N/mm²（GPa × 1000）。
  4. 有効長さ：KL。
  5. 臨界荷重：Pcr = π²EI/(KL)²（N）。kN にするには 1000 で割ります。
  6. 問われたら、細長比 KL/r または臨界応力 Pcr/A を確認します。

安全率 n を使う設計問題では、柱は Pcr = n·P でなければなりません。オイラーの式を I について解き、続いて直径を求めます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

直径 40 mm、長さ 2 m の中実の円形鋼製柱（E = 200 GPa）の両端がピン支持されています。臨界座屈荷重 Pcr を求めなさい。次に、同じ柱の下端を固定、上端を自由にした場合を求めなさい。

1

柱を見る

PL = 2 m

両端ピン支持なので K = 1、KL = 2000 mm です。E = 200 000 N/mm² です。

2

断面二次モーメント

円形断面は、どの軸まわりでも I が同じです。

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

座屈荷重

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62.0 kN
4

オイラーの式が使えるか確認する

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49.3 MPa

これは鋼の降伏応力（約 250 MPa）よりはるかに低いので、この柱は細長く、オイラーの式は有効です。

5

下端固定、上端自由

今度は K = 2 なので、有効長さは 2 倍の 4000 mm になり、Pcr は 2² = 4 分の 1 になります。

Pcr = 62.0 / 4 = 15.5 kN
答え

両端ピン支持では Pcr = 62.0 kN、下端固定・上端自由では 15.5 kN です。

6よくある間違い

  • K を間違って選ぶ、または 2 乗するのを忘れること。
  • 長方形の大きい方の I を使うこと。柱は必ず弱軸まわりに座屈します。
  • 単位を混ぜること。L をメートル、E を N/mm² で使うなど。最初から最後まで N と mm で計算しましょう。
  • π·d⁴/64 の代わりに π·d⁴/32（ねじりの極断面二次モーメント J）を使うこと。
  • 臨界応力が降伏応力を上回るような短くてずんぐりした柱に、オイラーの式を適用すること。
セルフチェック 両端ピン支持の柱の Pcr は 40 kN です。同じ柱を両端固定（K = 0.5）にしました。Pcr はいくらですか？
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

答え: 160 kN. Pcr は K² = 0.25 で割られるので、4 倍の 160 kN になります。80 kN は K を 2 乗し忘れた値で、10 kN は割る代わりに K² を掛けた値です。

7試験問題の例

  • やさしい：両端ピン支持。円形または長方形の鋼やアルミニウムの柱の Pcr を求めます。
  • ふつう：ほかの端部条件。K = 2、0.7、0.5 での同じ問題。
  • むずかしい：設計と臨界応力。安全率つきで荷重を支える最小の直径を求める、または細長比と σcr を求めます。

円形の棒の設計では：d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4。

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解答例

例題 1やさしい
PL = 5 md = 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm

求めるもの： Pcr (kN)

ヒントを表示
  1. オイラーの式：Pcr = π²EI/(KL)²。
  2. 有効長さ係数：両端ピンの柱では K = 1。
  3. I = 306796 mm⁴.
答えとステップごとの解答を表示

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·5000 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN

答え

Pcr = 8.478 kN
例題 2ふつう
PL = 2.5 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm

求めるもの： Pcr (kN)

ヒントを表示
  1. オイラーの式：Pcr = π²EI/(KL)²。
  2. 有効長さ係数：下端固定・上端自由の柱では K = 2。
  3. I = 39761 mm⁴.
答えとステップごとの解答を表示

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2500 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN

答え

Pcr = 3.139 kN
例題 3むずかしい
PL = 2.5 md = 25 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm

求めるもの： σcr (MPa)

ヒントを表示
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)²。r = √(I/A) は断面二次半径です。
  2. 柱は最も弱い軸まわりに座屈するので、最小の I を使います。
  3. r = 6.25 mm.
答えとステップごとの解答を表示

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

答え

σcr = 4.318 MPa

質問と回答

柱の座屈とは？

プラスチックの定規の両端を押してみてください。最初は何も起きないように見えます。それから突然、横にたわみます。これが座屈です。

短くて太い柱は、圧壊で破壊します。応力 P/A が材料の強度に達するのです。長くて細い柱は、応力がまだその強度よりずっと低いうちに、はるかに小さい荷重で座屈します。

柱の座屈の問題の解き方は？（手順）

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

柱の座屈の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 両端ピン
  • ふつう: その他の端部条件
  • むずかしい: 設計と座屈応力

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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