開水路の流れ（マニング）：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の開水路の流れ（マニング）練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：水路の流速, 流量, 必要な水路勾配。

無料の練習問題やさしい
b = 1 my = 0.8 mn = 0.014

幅 1 m の長方形の仕上げのないコンクリートの水路（マニングの粗度係数 n = 0.014）を、水が水深 0.8 m の等流で流れている。 水路床勾配は S = 0.0008 である。 SI 単位のマニングの式を用いて平均流速 V を求めよ。

b = 1 my = 0.8 mn = 0.014S = 0.0008
m/s
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練習する内容

  1. やさしい水路の流速
  2. ふつう流量
  3. むずかしい必要な水路勾配

重要な公式

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

開水路の流れ（マニング）をゼロから学ぶ

1開水路流とは何か

川、水路、排水溝、満管でない下水管の水は、空気に開いた自由表面をもって流れます。これが開水路流です。

水をポンプで送るものはありません。重力が水を河床の勾配に沿って引き下げ、河床や壁との摩擦がそれを引き止めます。

この 2 つが釣り合うと、水深と流速は水路に沿って変わらなくなります。これを等流といい、マニングの式が記述するものです。

技術者は、これを使って 3 つの問いに答えます：水はどれだけ速く流れるか、水路はどれだけの水を運べるか、水路はどれだけ急でなければならないか？

セルフチェック 等流の開水路流では、どの 2 つの効果が釣り合っていますか？
  1. ポンプの圧力と摩擦
  2. 勾配に沿った重力と、河床や壁からの摩擦
  3. 水の重さと浮力
  4. 空気の圧力と水の圧力

答え: 勾配に沿った重力と、河床や壁からの摩擦. 河床の勾配によって重力が水を駆動し、粗い境界がそれを遅くします。両者が釣り合うと、水深と流速は変化しなくなります。

2径深と潤辺

摩擦は、水が水路に触れる場所でだけはたらきます。断面の周りで測ったその境界が潤辺 P です。自由表面は空気に触れているので、含めません。

byA = b·yP = b + 2y

図の太線が P です。色のついた部分が流水断面積 A です。両者の比が径深です。

R = A / P
  • 幅 b、水深 y の長方形：A = b·y、P = b + 2y。
  • 側面の勾配が z:1（鉛直 1 に対して水平 z）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。
  • 満管または半分満たされた円管：R = D/4。

R が大きいことは、境界が少ないわりに水が多いことを意味するので、1 リットルあたりの摩擦が小さく、流れが速くなります。

セルフチェック 長方形の水路は幅 4 m で、水深は 1 m です。径深 R はいくらですか？
  1. 0.5 m
  2. 0.667 m
  3. 1 m
  4. 4 m

答え: 0.667 m. A = 4 · 1 = 4 m²、P = 4 + 2 · 1 = 6 m なので、R = 4/6 = 0.667 m です。自由表面を P に含める（P = 8 m）と 0.5 m、1 m は水深であって R ではありません。

3マニングの式

SI 単位では、等流の平均流速は次のとおりです。

V = (1/n) · R2/3 · S1/2
  • n はマニングの粗度係数です。滑らかに仕上げたコンクリートは約 0.012、れんが積みは 0.015、きれいな土は 0.022、草で覆われた土は 0.03 です。粗いほど n は大きくなり、水は遅くなります。
  • R は径深（m）です。
  • S は河床勾配（m/m）で、無次元の数です。1 キロメートルあたり 1.5 m の落差は、S = 1.5/1000 = 0.0015 です。

流量（排水量）は、流速に流水断面積をかけたものです。

Q = A · V

水路に必要な勾配を求めるには、両方を組み合わせて S について解きます。

S = (n · Q / (A · R2/3))²
セルフチェック 水路の河床が 1 km で 2 m 下がります。マニングの式で使う勾配 S はいくらですか？
  1. 0.0002
  2. 0.002
  3. 0.02
  4. 2

答え: 0.002. S = 落差/長さ = 2 m / 1000 m = 0.002 です。勾配には単位がないので、メートルは打ち消し合わなければなりません。

4ステップごとの方法

  1. 断面をスケッチし、b、y、z（台形の場合）、n、S を書き出します。
  2. 流水断面積 A を求めます。
  3. 潤辺 P を求めます：河床と水に濡れる側面で、自由表面は決して含めません。
  4. 径深：R = A/P。
  5. マニング：V = (1/n)·R2/3·S1/2。
  6. 流量が問われたら：Q = A·V。勾配が問われたら、S = (n·Q/(A·R2/3))² を使います。

電卓では、R2/3 は括弧をつけて R^(2/3) です。かける前に、R2/3 と √S を別々に計算しておきます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

幅 3 m の長方形のれんが積み水路（マニングの n = 0.015）を、水が深さ 1 m で等流で流れます。河床勾配は S = 0.001 です。平均流速 V と流量 Q を求めなさい。

1

断面を見る

b = 3 my = 1 mn = 0.015S = 0.001

長方形なので、A = b·y、P = b + 2y です。

2

面積と潤辺

A = 3 · 1 = 3 m²
P = 3 + 2 · 1 = 5 m
3

径深

R = A/P = 3/5 = 0.6 m

すると R2/3 = 0.62/3 = 0.7114 です。

4

マニングの式

√S = √0.001 = 0.03162。

V = (1/0.015) · 0.7114 · 0.03162 = 1.50 m/s
5

流量

Q = A · V = 3 · 1.50 = 4.50 m³/s
6

答えを確認する

ライニングされた水路は通常 1 から 3 m/s で流れるので、1.50 m/s は妥当です。粗い土のライニング（n = 0.022）なら、同じ勾配でも流速は低くなります。

答え

V = 1.50 m/s、Q = 4.50 m³/s。

6よくある間違い

  • 径深 R の代わりに水深 y を使うこと。
  • 自由表面を潤辺に数えること。
  • 台形で、各側面の長さを y とすること。濡れる側面は y·√(1 + z²) です。
  • √S の代わりに S を使う、または S を求めるときに最後に 2 乗するのを忘れること。
  • m/km の勾配を、m/m として使うこと。
  • Q が問われているのに V を答えること：断面積をかけます。
セルフチェック 長方形の水路：b = 4 m、y = 1 m、n = 0.02、S = 0.0016 です。平均流速 V はいくらですか？
  1. 0.061 m/s
  2. 1.26 m/s
  3. 1.53 m/s
  4. 2.00 m/s

答え: 1.53 m/s. R = 4/6 = 0.667 m なので、V = (1/0.02) · 0.667^(2/3) · 0.04 = 1.53 m/s です。水深を R として使うと 2.00 m/s、自由表面を P に含めると 1.26 m/s になります。

7試験問題の例

  • やさしい：長方形の水路の流速。勾配が 1 キロメートルあたりの落差で与えられることもあります。
  • ふつう：長方形または台形の水路、あるいは満管または半分満たされた管（R = D/4）での流量 Q。
  • むずかしい：与えられた Q を運ぶために水路に必要な河床勾配、または与えられた流速に対する下水管の勾配。

台形の例：b = 2 m、y = 1 m、側面の勾配 2:1、n = 0.022、S = 0.001。A = (2 + 2·1)·1 = 4 m²、P = 2 + 2·1·√5 = 6.47 m なので、R = 0.618 m です。

V = (1/0.022) · 0.6182/3 · √0.001 = 1.04 m/s, Q = 4 · 1.04 = 4.17 m³/s

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解答例

例題 1やさしい
b = 2.5 my = 1 mn = 0.022

幅 2.5 m の長方形のきれいな土の水路（マニングの粗度係数 n = 0.022）を、水が水深 1 m の等流で流れている。 水路床は 1 km あたり 4 m 下がる。 SI 単位のマニングの式を用いて平均流速 V を求めよ。

b = 2.5 my = 1 mn = 0.022落差 = 4 m/km

求めるもの： V (m/s)

ヒントを表示
  1. 流水断面の径深 R = A/P を求めます。
  2. 勾配は落差を長さで割ったものです：S = 4/1000。
  3. R = 0.5556 m.
答えとステップごとの解答を表示

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

径深

A = b·y = 2.5·1 = 2.5 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·1 = 4.5 m
R = A/P = 0.5556 m

傾き

S = 4/1000 = 0.004

マニングの式

V = (1/n)·R2/3·S1/2 = (1/0.022)·0.55562/3·0.0041/2 = 1.943 m/s

答え

V = 1.943 m/s
例題 2ふつう
D = 300 mmn = 0.013, S = 0.0005

内径 300 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.0005

求めるもの： Q (m³/s)

ヒントを表示
  1. 満流：A = π·D²/4、P = π·D。
  2. どちらの場合も R = A/P = D/4 = 0.075 m です。
  3. マニングの式で V を求め、Q = A·V とします。
答えとステップごとの解答を表示

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.0752/3·0.00051/2 = 0.3059 m/s

流量

Q = A·V = 0.07069·0.3059 = 0.02162 m³/s

答え

Q = 0.02162 m³/s
例題 3むずかしい
b = 2.5 my = 1.8 mn = 0.03, Q = 2.7 m³/s

幅 2.5 m の長方形の芝で覆われた土の水路は、 水深 1.8 m の等流で 2.7 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 2.7 m³/sb = 2.5 my = 1.8 mn = 0.03

求めるもの： S (m/m)

ヒントを表示
  1. Q = A·V とマニングの式を組み合わせます：Q = (1/n)·A·R2/3·S1/2。
  2. A = 4.5 m², R = 0.7377 m.
  3. S について解きます：S = (n·Q/(A·R2/3))²。
答えとステップごとの解答を表示

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 2.5·1.8 = 4.5 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·1.8 = 6.1 m
R = A/P = 0.7377 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·2.7/(4.5·0.8164) = 0.02205
S = 0.02205² = 0.0004861

答え

S = 0.0004861

これは 1 km あたり 0.4861 m の落差です。

質問と回答

開水路の流れ（マニング）とは？

川、水路、排水溝、満管でない下水管の水は、空気に開いた自由表面をもって流れます。これが開水路流です。

水をポンプで送るものはありません。重力が水を河床の勾配に沿って引き下げ、河床や壁との摩擦がそれを引き止めます。

開水路の流れ（マニング）の問題の解き方は？（手順）

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

開水路の流れ（マニング）でよくある間違いは？
  • 水深ではなく径深 R = A/P を使いましょう。水深がよい近似になるのは、非常に幅の広い水路だけです。
  • 水面は潤辺に含まれません：P = b + 2y。
  • 勾配は無次元です：1000 m あたり 4 m なら S = 0.004 です。
開水路の流れ（マニング）の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 水路の流速
  • ふつう: 流量
  • むずかしい: 必要な水路勾配

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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このトピックを含む科目

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せん断力と曲げモーメントトラス：節点法はりのたわみ図心と断面二次モーメント柱の座屈地盤の有効応力圧密沈下静水圧

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