圧密沈下：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の圧密沈下練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：正規圧密粘土, 過圧密粘土, 圧密時間。

無料の練習問題やさしい
Δσ = 110 kPa砂粘土Cc​ = 0.5e0​ = 1.15σ′0​ = 135 kPa7.5 m地下水位

厚さ 7.5 m の正規圧密粘土層（Cc = 0.5、e₀ = 1.15）の中央深さでの有効鉛直応力は 135 kPa である。広い盛土により、粘土層の鉛直応力が 110 kPa 増加する。 層を 1 つの層とみなし、中央深さでの応力を用いる。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7.5 mCc = 0.5e0 = 1.15σ′0 = 135 kPaΔσ = 110 kPa
mm
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練習する内容

  1. やさしい正規圧密粘土
  2. ふつう過圧密粘土
  3. むずかしい圧密時間

重要な公式

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

圧密沈下をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： 地盤の有効応力

1圧密沈下とは

粘土層の上に建物を建てると、追加の荷重が粘土を押し縮めます。水が間隙から押し出され、粒子が互いに近づきます。地表面は沈みます：これが圧密沈下です。

粘土の間隙はとても小さいので、水はゆっくり抜けます。粘土の上の建物は、何年も沈み続けることがあります。

間隙の量は間隙比 e で測ります：間隙の体積を、固体粒子の体積で割ったものです。e = 1 の粘土は、粒子の体積と同じだけの間隙の体積をもちます。

粘土が押し縮められると、e は下がります。層は、全体積の同じ割合だけ薄くなります：

S = H · Δe / (1 + e0)

ここで H は層の厚さ、e0 は初めの間隙比、Δe は間隙比の減少です。1 + e0 は、粒子の単位体積あたりの全体積です。

セルフチェック 砂はほぼ即座に沈下するのに、粘土層が沈下するのに何年もかかるのはなぜか。
  1. 水が非常に小さな間隙から流れ出なければならず、時間がかかるから
  2. 粘土の粒子は砂の粒子より重いから
  3. 粘土の間隙には水がないから
  4. 粘土への荷重が、何年もかけてゆっくり増えるから

答え: 水が非常に小さな間隙から流れ出なければならず、時間がかかるから. 沈下には、水が間隙から抜けることが必要です。粘土では間隙が小さいので、水はゆっくり流れ出ます。砂では、ほぼ即座に抜けます。

2正規圧密粘土と過圧密粘土

試験により、e は有効応力 σ′ の対数に対してプロットすると、直線状に下がることがわかっています。この直線の傾きが圧縮指数 Cc です。

log σ′eσ′p​σ′0​Cr​Cc​

粘土の中には、過去に、たとえば氷河や、その後浸食された土によって、より大きな荷重を受けたものがあります。粘土がこれまでに受けた最大の有効応力が、その先行圧密圧力 σ′p です。

  • σ′p より下では、粘土は、傾き Cr（再圧縮指数）の平らな直線に沿って再圧縮されるだけです。Cr は小さく、Cc/10 ほどであることがよくあります。
  • σ′p より上では、粘土は傾き Cc の急な直線に従います。

現在 σ′0 = σ′p の粘土は正規圧密（NC）です。σ′0 < σ′p の粘土は過圧密（OC）です。過圧密比は OCR = σ′p/σ′0 です。

σ′f = σ′0 + Δσ を最終的な有効応力とすると、沈下量は次のとおりです：

NC: S = Cc·H/(1 + e0) · log₁₀(σ′f/σ′0)
OC, σ′f ≤ σ′p: S = Cr·H/(1 + e0) · log₁₀(σ′f/σ′0)
OC, σ′f > σ′p: S = H/(1 + e0) · [Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]

すべての応力は、粘土層の中央でとります。これが層全体の平均を代表します。

セルフチェック ある粘土は σ′₀ = 60 kPa、σ′p = 120 kPa である。荷重により、応力が σ′f = 100 kPa に上がる。どの指数を使うか。
  1. 120 kPa までは Cr、その先は Cc
  2. Cc だけ
  3. Cr だけ
  4. どちらも使わない：粘土は沈下しない

答え: Cr だけ. 最終的な応力 100 kPa は σ′p = 120 kPa を下回るので、粘土は平らな Cr の直線に沿って再圧縮されるだけです。Cc が必要になるのは、120 kPa を超えるときだけです。

3どれくらい時間がかかるか

最終沈下量のある割合に達するまでの時間は、水が移動しなければならない距離に依存します。その距離が排水距離 Hdr です。

  • 粘土の上と下に砂（または他の排水しやすい層）がある場合：水は両方の面から抜けるので、Hdr = H/2 です。これが両面排水です。
  • 下に岩盤など不透水の層がある場合：水は上からしか抜けないので、Hdr = H です。これが片面排水です。
HHdr​ = H/2
t = Tv · Hdr² / cv

cv は粘土の圧密係数で、たとえば m²/年です。Tv は、求めたい圧密度 U に対する時間係数です：50% で 0.197、70% で 0.403、90% で 0.848。

例：岩盤の上の 4 m の粘土層、cv = 2 m²/年、U = 50%。t = 0.197 · 4²/2 = 1.576 年です。下に砂があれば、Hdr = 2 m で t = 0.394 年：4 倍速くなります。

セルフチェック 厚さ 6 m の粘土層が、2 つの砂層の間にある。排水距離 Hdr はいくらか。
  1. 1.5 m
  2. 12 m
  3. 3 m
  4. 6 m

答え: 3 m. 水は上と下から抜けるので、最も長い経路は層の半分です：6/2 = 3 m。6 m 全体を使うのが正しいのは、一方の面が閉じている場合だけです。

4ステップごとの方法

  1. 粘土の中央での初期の有効応力 σ′0 を求めます（与えられるか、土の断面から）。
  2. 追加の応力を加えます：σ′f = σ′0 + Δσ。
  3. 粘土の種類を決めます。σ′p や OCR が与えられたら、σ′f を σ′p = OCR·σ′0 と比べます。
  4. 対応する式を選び、ln ではなく log₁₀ を使います。
  5. S は求められた単位で答えます：メートルに 1000 を掛けるとミリメートルになります。

時間を求める問題では：上と下の排水から Hdr を求め、t = Tv·Hdr²/cv とします。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

厚さ 4 m の正規圧密粘土層（Cc = 0.3、e0 = 1.0）は、中央の深さで σ′0 = 100 kPa である。広い盛土が Δσ = 100 kPa を加える。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

1

層を見る

H = 4 mσ′0​ = 100 kPaΔσ = 100 kPaCc​ = 0.3e0​ = 1.0

粘土は正規圧密なので、応力の増加の全体が Cc の直線に従います。

2

最終有効応力

σ′f = σ′0 + Δσ = 100 + 100 = 200 kPa
3

対数

log₁₀(σ′f/σ′0) = log₁₀(200/100) = log₁₀ 2 = 0.301
4

層の係数

Cc·H/(1 + e0) = 0.3 · 4/(1 + 1.0) = 0.6 m
5

沈下量

S = 0.6 · 0.301 = 0.1806 m = 180.6 mm
6

答えを確認する

間隙比の減少は Δe = Cc·0.301 = 0.0903 です。したがって S = H·Δe/(1 + e0) = 4 · 0.0903/2 = 0.1806 m です。これは層の 4.5% で、軟らかい粘土では普通の値です。

答え

S ≈ 181 mm（0.1806 m）。

6よくある間違い

  • log₁₀ の代わりに ln を使う。答えは 2.3 倍大きくなります。
  • 1 + e0 で割り忘れる。
  • log₁₀((σ′0 + Δσ)/σ′0) ではなく、log₁₀(Δσ/σ′0) と書く。
  • σ′p を超えない過圧密粘土に Cc を使う。
  • 粘土が岩盤の上にあるのに Hdr = H/2 とする、または両面が排水するのに Hdr = H とする。
  • 時間の式で Hdr を 2 乗し忘れる。
セルフチェック 正規圧密粘土：Cc = 0.25、H = 4 m、e₀ = 1.0、σ′₀ = 50 kPa、Δσ = 50 kPa。S はいくらか。
  1. 0 mm
  2. 150.5 mm
  3. 301.0 mm
  4. 346.6 mm

答え: 150.5 mm. S = 0.25·4/2 · log₁₀(100/50) = 0.5 · 0.301 = 0.1505 m です。ln を使うと 346.6 mm、1 + e₀ を落とすと 301 mm、log₁₀(Δσ/σ′₀) = log₁₀ 1 を使うと 0 になります。

7試験問題の例

  • やさしい：正規圧密粘土。例のように、H、Cc、e0、σ′0、Δσ が与えられます。土の断面から、まず σ′0 を求めることもあります。
  • ふつう：Cr、Cc、σ′p または OCR をもつ過圧密粘土。まず σ′f を σ′p と比べ、超えるなら σ′p で対数を分けます。
  • むずかしい：圧密にかかる時間。片面排水か両面排水かを決め、次に t = Tv·Hdr²/cv とします。

過圧密の計算例：H = 2 m、e0 = 1、Cr = 0.04、Cc = 0.4、σ′0 = 50 kPa、σ′p = 100 kPa、Δσ = 100 kPa。すると σ′f = 150 kPa は σ′p を超えます。

S = 2/2 · [0.04·log₁₀(100/50) + 0.4·log₁₀(150/100)] = 0.0120 + 0.0704 = 0.0825 m

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解答例

例題 1やさしい
Δσ = 70 kPa砂γ = 19 kN/m³4 m粘土γsat​ = 18.5 kN/m³Cc​ = 0.2, e0​ = 0.97 m地下水位X

厚さ 7 m の正規圧密粘土層（γsat = 18.5 kN/m³、Cc = 0.2、e₀ = 0.9）が、厚さ 4 m の砂層（γ = 19 kN/m³）の下にある。地下水面は粘土層の上面にあり、γw = 9.81 kN/m³ とする。広い盛土により、粘土層全体の鉛直応力が 70 kPa 増加する。 層を 1 つの層とみなし、中央深さでの応力を用いる。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

砂: Hs = 4 m, γ = 19 kN/m³粘土: H = 7 m, γsat = 18.5 kN/m³γw = 9.81 kN/m³Cc = 0.2e0 = 0.9Δσ = 70 kPa

求めるもの： S (mm)

ヒントを表示
  1. 正規圧密：S = Cc·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′f/σ′₀)。
  2. 粘土層の中央で：σ′₀ = γ·Hs + (γsat − γw)·H/2。
  3. Cc·H/(1 + e0) = 0.7368 m.
答えとステップごとの解答を表示

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

粘土層中央での有効応力

砂層は地下水面より上にありますが、粘土はその下で水中にあるので、γsat − γw を使いましょう。

σ′0 = 19·4 + (18.5 − 9.81)·3.5 = 106.4 kPa

最終有効応力

σ′f = 106.4 + 70 = 176.4 kPa

沈下量

S = 0.2·7/(1 + 0.9)·log₁₀(176.4/106.4) = 0.7368·0.2195 = 0.1618 m = 161.8 mm

答え

S = 161.8 mm
例題 2ふつう
Δσ = 230 kPa砂粘土Cc​ = 0.5, Cr​ = 0.02e0​ = 1.2σ′0​ = 50 kPaσ′p​ = 150 kPa2 m地下水位

厚さ 2 m の過圧密粘土層の Cc = 0.5、Cr = 0.02、e₀ = 1.2 である。中央深さでの有効鉛直応力は 50 kPa であり、 圧密降伏応力は 150 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 230 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2 mCc = 0.5Cr = 0.02e0 = 1.2σ′0 = 50 kPaσ′p = 150 kPaΔσ = 230 kPa

求めるもの： S (mm)

ヒントを表示
  1. 最終応力 σ′₀ + Δσ を圧密降伏応力と比べます。
  2. σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > σ′p = 150 kPa.
  3. 応力の範囲を σ′p で分けます：σ′₀ から σ′p までは Cr、σ′p から σ′f までは Cc。
答えとステップごとの解答を表示

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > 150 kPa

沈下量

σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.02·2/(1 + 1.2)·log₁₀(150/50) + 0.5·2/(1 + 1.2)·log₁₀(280/150)
S = 8.675 + 123.2 = 131.9 mm

答え

S = 131.9 mm
例題 3むずかしい
砂粘土H = 9.5 mcv​ = 3 m²/年度9.5 m砂地下水位

厚さ 9.5 m の粘土層の圧密係数は cv = 3 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 平均圧密度 60% に対する時間係数は Tv = 0.287 である。この層が圧密度 60% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 9.5 mcv = 3 m²/年度U = 60%Tv = 0.287両面排水

求めるもの： t (年)

ヒントを表示
  1. t = Tv·Hdr²/cv。
  2. 排水面が 2 つ：水の粒子が移動する最長の距離は層の厚さの半分です。
  3. Hdr = 4.75 m.
答えとステップごとの解答を表示

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr = H/2 = 9.5/2 = 4.75 m

時間

t = Tv·Hdr²/cv = 0.287·4.75²/3 = 2.158 年

答え

t = 2.158 年

質問と回答

圧密沈下とは？

粘土層の上に建物を建てると、追加の荷重が粘土を押し縮めます。水が間隙から押し出され、粒子が互いに近づきます。地表面は沈みます：これが圧密沈下です。

粘土の間隙はとても小さいので、水はゆっくり抜けます。粘土の上の建物は、何年も沈み続けることがあります。

圧密沈下の問題の解き方は？（手順）

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密沈下でよくある間違いは？
  • 自然対数 ln ではなく、常用対数 log₁₀ を使いましょう。
  • Cc·H を掛けるだけでなく、1 + e₀ で割りましょう。
  • 対数には最終応力と初期応力の比を使います：Δσ/σ′₀ ではなく (σ′₀ + Δσ)/σ′₀ です。
圧密沈下の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 正規圧密粘土
  • ふつう: 過圧密粘土
  • むずかしい: 圧密時間

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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