はりのたわみ：ステップごとの解答つき練習問題

1たわみとは何か

どの梁も、荷重を受けると少したわみます。梁のある点が下に動いた距離がたわみ δ で、たいてい mm で表します。

梁は十分に強くても、たわみすぎることがあります。すると、床がふわふわして、しっくいにひびが入り、ドアが引っかかります。床の一般的な制限はスパン/360 です：3.6 m の床なら、たわみは最大 10 mm までです。

梁がどれだけたわむかは、4 つのことで決まります。

• 荷重：荷重が 2 倍なら、たわみも 2 倍。
• スパン：たわみは長さとともに非常に速く増えます（L³ または L⁴）。
• 材料のヤング率 E：硬い材料ほどたわみにくい。
• 断面の断面二次モーメント I：せいの高い断面ほどたわみにくい。

E と I は常に積 EI として現れ、これが梁の曲げ剛性です。

2標準的な公式

たわみは、曲げモーメントを 2 回積分して得られますが、よくある場合は結果が表にまとめられています。4 つの場合で、ほとんどの問題をカバーできます。

• 片持ち梁、自由端に集中荷重 P：δ = P·L³ / (3·E·I)
• 片持ち梁、全長に等分布荷重 w：δ = w·L⁴ / (8·E·I)
• 単純支持梁、スパン中央に集中荷重 P：δ_max = P·L³ / (48·E·I)
• 単純支持梁、スパン全体に等分布荷重 w：δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

片持ち梁では、最大のたわみは自由端にあります。荷重が対称な単純支持梁では、スパン中央にあります。

梁が複数の荷重を受けるときは、各荷重だけによるたわみを足し合わせます。これが重ね合わせです。

3単位：N と mm で計算する

公式は、単位がそろっているときにだけ成り立ちます。確実なのは、ニュートンとミリメートルを使うことです。

• P は N：kN × 1000。
• w は N/mm：1 kN/m はちょうど 1 N/mm。
• L は mm：m × 1000。
• E は N/mm²：GPa × 1000。鋼：200 GPa = 200 000 N/mm²。
• I は mm⁴：「36 × 10⁶ mm⁴」は 36 000 000 mm⁴ を意味します。

すると、たわみは mm で求まります。L は 3 乗や 4 乗になるので、数値が大きくなります。10 のべき乗が使える電卓なら、扱いやすくなります。

4ステップごとの方法

1. 場合を見分けます：片持ち梁か単純支持梁か、集中荷重か等分布荷重か。
2. P、w、L、E、I を N と mm に換算します。
3. 合う公式を選びます。
4. δ を mm で計算します。
5. 複数の荷重の場合：それぞれを単独で計算して足します。
6. 設計問題では：δ を許容値（たとえば L/360）に等しいとおいて、I を求めます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 単位を混ぜること：L をメートル、E を N/mm² で使うと、でたらめな値になります。先にすべてを N と mm に換算しましょう。
• E を GPa のままにして、δ が 1000 倍大きくなること。
• 間違った場合を使うこと。たとえば片持ち梁に PL³/(48EI) を使うなど。支持条件と荷重の種類を確認しましょう。
• 5wL⁴/(384EI) の 5 を忘れること。
• 重ね合わせで、荷重ごとに別の公式を使いながら、荷重の 1 つを忘れること。

7試験問題の例

• やさしい：端に荷重を受ける片持ち梁。δ = PL³/(3EI) を求めます。バリエーション：中央に荷重を受ける単純支持梁、端部のたわみ角、あるいは一定のたわみを生じる荷重。
• ふつう：等分布荷重。片持ち梁（wL⁴/8EI）または単純支持梁（5wL⁴/384EI）。バリエーション：中央からずれた荷重と、端部のたわみ角。
• むずかしい：重ね合わせと設計。集中荷重と等分布荷重のたわみを足す、または δ を L/360 以下に保つ最小の I を求めます。

設計の場合：I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow)、δ_allow = L/360。