トラス：節点法：ステップごとの解答つき練習問題

1トラスとは何か

トラスは、まっすぐな棒を両端でつないで三角形をつくった骨組みです。屋根、クレーン、鉄塔、多くの橋に見られます。

棒は部材、つなぎ目は節点と呼ばれます。単純なモデルでは、すべての節点がピンで、荷重は節点にだけ作用します。

すると各部材は、それ自身の長さの方向にだけ引かれたり押されたりします。部材は 1 つの軸力を受け持ちます：

• 引張：部材が引かれ、長くなる。これを正とします。
• 圧縮：部材が押され、短くなる。これを負とします。

三角形が使われるのは、辺の長さを変えずには形を変えられないからです。そのため、トラスは少ない材料で剛になります。

2節点での力

各節点は、それ自体で釣り合っています。したがってどの節点でも 2 つの式が成り立ちます：

式が 2 つなので、1 つの節点で求められる未知の部材力は多くても2 つです。必ず、未知数が 2 つだけの節点から始めます。

未知の部材力はすべて引張として描きます：節点から離れる向きに、部材に沿った矢印です。答えが負なら、その部材は圧縮です。

傾いた部材の力には 2 つの成分があります。部材が水平と角度 α をなすとき：

角度そのものはほとんど必要ありません。部材の水平方向の長さ a、高さ h、長さ ℓ = √(a² + h²) から：cos α = a/ℓ と sin α = h/ℓ です。

3ステップごとの方法

1. 支点反力は、トラス全体から求めます：ΣM_A = 0 から C_y、次に ΣF_y = 0 から A_y（水平荷重があれば ΣF_x = 0 から A_x）が得られます。
2. 未知の部材力が多くても 2 つの節点を選びます。たいていは支点の節点です。
3. 未知の部材力をすべて引張（節点から離れる向き）として、その節点を描きます。
4. ΣF_y = 0 を書きます。鉛直成分をもつ部材が 1 つだけなら、その力が直接求まります。
5. 2 つ目の力には ΣF_x = 0 を書きます。
6. すでにわかった力を使って、次の節点に進みます。結果が負なら圧縮です。

切断法は別の方法です：必要な部材を切断し、ほかの切断した部材が交わる点まわりのモーメントをとります。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

5よくある間違い

• 未知の力が 3 つある節点から始めること。2 つの式では 3 つの未知数は解けません。
• sin と cos を取り違えること。三角形のどの辺が鉛直かを確認します。
• 未知数の一部を圧縮、一部を引張として描き、そのあと符号を読み違えること。すべて引張として描きます。
• 節点での支点反力を忘れる、またはその向きを間違えること。
• 反力を求めるモーメントの式で、水平荷重を忘れること。

6試験問題の例

• やさしい：対称。例のように、B はスパン中央の真上にあり、荷重は鉛直です。反力はそれぞれ荷重の半分です。
• ふつう：非対称。B はスパン中央の真上にないので、AB と BC の角度が異なります。まず A まわりのモーメントから C_y を求めます。
• むずかしい：B に鉛直荷重と水平荷重がはたらきます。A のピンにも水平反力が生じます。ローラーは C_y しか与えないので、節点 C が今でもいちばん始めやすい節点です。

求めるのは、AB、BC、AC のうち 1 つの部材力です。引張を正、圧縮を負として答えます。