ラーメンと機械：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料のラーメンと機械練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：二力部材と簡単な機械, ピン力とリンク機構, 多部材のラーメン。

無料の練習問題やさしい
15 kN4 m1.2 m0.8 m0.8 mABCDEK

図の A 形フレームは、4 m 離れた A のピンと B のローラーで支えられています。脚 AC 上の A から（水平に）0.8 m の点 K に、鉛直荷重 15 kN が作用します。ローラーの鉛直反力 By を求めなさい。

P = 15 kNAB = 4 mA から K までの水平距離 = 0.8 m
kN
次の問題 →
ラーメンと機械を無料で練習今すぐラーメンと機械を練習毎日 5 問まで無料。カード登録は不要です。

練習する内容

  1. やさしい二力部材と簡単な機械
  2. ふつうピン力とリンク機構
  3. むずかしい多部材のラーメン

ラーメンと機械の問題の解き方

  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。

よくある間違い

  • ピンとピンの間に荷重がある部材を二力部材として扱う。
  • ピン力を、つなぐ 2 つの部材で同じ向きに描く。
  • モーメントの式で、斜めの力そのものを鉛直成分として使う。
  • ピン力の大きさを問われているのに、成分を 1 つしか答えない。

重要な公式

各部材のつり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力部材
2 つのピンを通る直線に沿った力
ピン力
結合する 2 つの部材に、大きさが等しく向きが逆
ピン力の大きさ
F = √(Fx² + Fy²)
てこ、ペンチ、ベルクランク
Fin·a = Fout·b
トグル
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用

ラーメンと機械をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： はりの支点反力, トラス：節点法

1ラーメンと機械とは

トラスでは、各部材は両端にピンをもつまっすぐな棒で、荷重は節点にだけ作用するので、どの部材も引張か圧縮を受けるだけです。ラーメン（フレーム）は違います：少なくとも 1 つの部材が 3 点以上で力を受けるか、ピンとピンの間に荷重を受けます。そのような部材は曲げも受けます。

ABCDE8 kN

この A 形フレームでは、脚 AC と脚 BC は多力部材です：それぞれ支点、つなぎ材、ピン C で力を受けます。つなぎ材 DE は両端がピン接合で、その間には何も受けません。動いて入力の力を出力の力に変えるフレーム、たとえばペンチ、てこ、クランプなどを機械といいます。

セルフチェック A 形フレームのどの部材が二力部材ですか。
  1. すべての部材。どれも両端に 2 つのピンがあるから
  2. つなぎ材 DE
  3. 脚 AC。荷重を受けているから
  4. 脚 BC。ローラーに乗っているから

答え: つなぎ材 DE. DE は 2 つのピンにだけ力を受けるので、その力は DE に沿って働きます。各脚は、支点とピン C のほかに D または E でつなぎ材の力も受けるので、2 つではなく 3 つの力を受けます。

2二力部材とピン力

2 つのピンだけで荷重を受ける部材を二力部材といいます。その 2 つの力は大きさが等しく向きが逆で、2 つのピンを通る直線上にあります。したがって、2 成分ではなく、力の大きさという未知数 1 つだけになります。

2 つの部材がピンで接するとき、ピンは一方の部材に力 (Cx, Cy) を、もう一方に逆向きの力 (−Cx, −Cy) を及ぼします。2 つの自由物体図に、同じ記号でこのように描きます。

個々の部材ごとに 3 つの式が成り立ちます：ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0。未知の力が働くピンまわりのモーメントをとれば、その 2 成分は式から消えます。

3ステップごとの方法

  1. フレーム全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材に印をつけます：その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. フレームをばらして、各多力部材を単独で描き、大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、ピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします：F = √(Fx² + Fy²)。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

A 形フレームが A のピンと B のローラーで支えられ、両者は 3 m 離れています。ピン C の高さは 2.4 m、つなぎ材 DE は地面から 0.8 m の高さにあります。C に 8 kN の荷重が作用します。つなぎ材の張力 T と、脚 BC に対するピン C の力を求めなさい。

1

フレームを見る

ABCDE8 kN3 m0.8 m1.6 m

つなぎ材 DE は二力部材なので、両方の脚を水平に引きます。

2

全体

荷重は中央にあるので、各支点が半分ずつ受け持ちます。

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

脚 BC：C まわりのモーメント

4 kNTCx​Cy​CEB

B は C の 1.5 m 右にあり、つなぎ材は C の 2.4 − 0.8 = 1.6 m 下にあります。

4·1.5 = T·1.6 ⇒ T = 3.75 kN
4

脚 BC：力のつり合い

Cx = T = 3.75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3.75² + 4²) = 5.48 kN
5

答えを確認する

脚 AC では、ピン力は逆向きで (−3.75, +4) kN です。Ay = 4 kN、つなぎ材 +3.75 kN、荷重 −8 kN を合わせると、どちらの力の和もゼロになります。

答え

T = 3.75 kN（引張）、脚 BC への力は C = 5.48 kN。

5機械：ペンチ、てこ、トグル

機械では、1 つの部品を描いて、その支点まわりのモーメントをとります。ピン力は消えて、入力の力と出力の力がつり合います：

Fin·a = Fout·b

手が支点から 100 mm、あごが支点から 25 mm のペンチは、力を 100/25 = 4 倍にします。このときピンは両方の力を受けます：片方の半分では、2 つの力がピンの反対側で同じ向きを向くので、足し合わされます。

トグルでは、2 本のリンクが浅い角度 θ で出会います。各リンクは力 F/(2 sin θ) を受ける二力部材で、締め付け力は F/(2 tan θ) です。リンクが平らになるほど、力は大きくなります。

セルフチェック ペンチを、支点から 100 mm の位置で 50 N で握り、あごは支点から 25 mm です。つかむ力はいくらですか。
  1. 12.5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

答え: 200 N. 支点まわりのモーメント：50·100 = Q·25 より Q = 200 N。比を逆にすると 12.5 N になってしまいます。250 N はピン力、つまり手の力とつかむ力の和です。

6よくある間違い

  • ピンとピンの間に荷重がある部材を二力部材として扱う。
  • ピン力を、それがつなぐ 2 つの部材で同じ向きに描く。
  • 斜めの支柱の力そのものを、鉛直成分として使う。
  • ピン力の大きさを問われているのに、成分を 1 つだけ答える。
セルフチェック 支柱が梁を、梁に対して 30° の角度で 10 kN で押しています。梁に垂直な成分はいくらですか。
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8.66 kN

答え: 5 kN. 垂直成分は 10·sin 30° = 5 kN です。8.66 kN は梁に沿った成分（cos 30°）で、10 kN は力全体です。

7試験問題の例

  • やさしい：二力部材と簡単な機械。ペンチのつかむ力やピン力、壁付きブラケットの支柱の力、A 形フレームのつなぎ材の力や支点反力、ベルクランクの出力の力を求めます。
  • ふつう：ピン力とリンク機構。ブラケットやベルクランクのピン反力、偏心荷重に対するつなぎ材の力、脚に対するピンの力、3 ヒンジのラーメンの部材力、トグルの締め付け力を求めます。
  • むずかしい：多部材のラーメン。ブラケットに等分布荷重を加えたもの、自重をもつブームのケーブル力やピン反力、偏心荷重に対するピン力、水平荷重を受ける場合の支点反力、トグルプレスに必要な力を求めます。

アプリでステップごとに学ぶアプリでステップごとに学ぶ

解答例

例題 1やさしい
12 kN0.5 m1 m1.2 mABCD

水平な梁 AB が A で壁にピン接合され、A の 1.2 m 下で壁にピン接合された支柱 CD で支えられています。自由端 B に 12 kN の荷重がつり下がっています。重さは無視します。支柱の力 FCD を求めなさい。

P = 12 kNAD = 0.5 mAB = 1.5 mAC = 1.2 m

求めるもの： FCD (kN)

ヒントを表示
  1. CD は 2 つのピンだけで荷重を受けるので二力部材です：その力は CD に沿って働きます。
  2. 梁について A まわりのモーメントをとります：モーメントをもつのは支柱と荷重だけです。
  3. sin α = 1.2/√(0.5² + 1.2²) = 0.9231.
答えとステップごとの解答を表示

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

二力部材

支柱は両端がピンで、その間に荷重はありません。

tan α = 1.2/0.5, sin α = 0.9231

梁の A まわりのモーメント

FCD·sin α·0.5 = 12·1.5
FCD = 18/(0.9231·0.5) = 39 kN

答え

FCD = 39 kN

支柱は梁を上に押します：圧縮を受けています。

例題 2ふつう
8 kN0.75 m1.25 m0.75 mABCD

水平な梁 AB が A で壁にピン接合され、A の 0.75 m 下で壁にピン接合された支柱 CD で支えられています。B に 8 kN の荷重がつり下がっています。重さは無視します。A で梁に作用するピン力の大きさ A を求めなさい。

P = 8 kNAD = 0.75 mAB = 2 mAC = 0.75 m

求めるもの： A (kN)

ヒントを表示
  1. まず支柱の力を求めます：梁について A まわりのモーメントをとります。
  2. FCD = 30.17 kN, sin α = 0.7071, cos α = 0.7071.
  3. 次に梁の ΣFx = 0 と ΣFy = 0 から A の成分が得られます。
答えとステップごとの解答を表示

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

支柱の力

FCD = 8·2/(0.7071·0.75) = 30.17 kN

A での成分

Ax = FCD·cos α = 21.33 kN （壁の方向）
Ay = 8 − FCD·sin α = −13.33 kN

大きさ

A = √(21.33² + −13.33²) = 25.16 kN

答え

A = 25.16 kN

Ay が負なら、壁が A で梁を下に引いています。

例題 3むずかしい
8 kN1 kN2 m1 mABC

重さ 1 kN の一様な水平ブーム AB が A で壁にピン接合され、端 B から A の 1 m 上の壁の点 C へのケーブルで保持されています。B に 8 kN の荷重がつり下がっています。ケーブルの張力 T を求めなさい。

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

求めるもの： T (kN)

ヒントを表示
  1. ケーブルは BC に沿って引きます。ブームについて A まわりのモーメントをとります。
  2. ケーブルの鉛直成分 T·sin β の腕は AB で、水平成分は A を通ります。
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0.4472.
答えとステップごとの解答を表示

ラーメンと機械：トラスと違って、ラーメンには 3 点以上で力を受ける部材、またはピンとピンの間に荷重を受ける部材が少なくとも 1 つあります。まず二力部材を探します：2 つのピンだけで荷重を受ける部材の力はその 2 つのピンを通る直線に沿うので、未知数は 2 つではなく 1 つ増えるだけです。次に、未知数が 3 つ以内なら、構造全体で支点反力を求めます。最後にラーメンをばらします：各部材を別々に描き、接続する 2 つの部材には大きさが等しく向きが逆のピン力を描いて、ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 を立てます。ピンまわりのモーメントをとると、そのピン力の 2 成分が式から消えます。

ケーブルの角度

BC = √(2² + 1²) = 2.236 m, sin β = 0.4472

A まわりのモーメント

T·0.4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19.01 kN

答え

T = 19.01 kN

質問と回答

ラーメンと機械とは？

トラスでは、各部材は両端にピンをもつまっすぐな棒で、荷重は節点にだけ作用するので、どの部材も引張か圧縮を受けるだけです。ラーメン（フレーム）は違います：少なくとも 1 つの部材が 3 点以上で力を受けるか、ピンとピンの間に荷重を受けます。そのような部材は曲げも受けます。

この A 形フレームでは、脚 AC と脚 BC は多力部材です：それぞれ支点、つなぎ材、ピン C で力を受けます。つなぎ材 DE は両端がピン接合で、その間には何も受けません。動いて入力の力を出力の力に変えるフレーム、たとえばペンチ、てこ、クランプなどを機械といいます。

ラーメンと機械の問題の解き方は？（手順）
  1. 構造全体を描き、未知数が 3 つ以内なら支点反力を求めます。
  2. 二力部材を見つけます：2 つのピンだけで荷重を受けるので、その力は 2 つのピンを結ぶ直線に沿って働きます。
  3. ラーメンをばらして各部材を単独で描き、部材どうしが接するところには大きさが等しく向きが逆のピン力を描きます。
  4. 各部材について、未知の力が働くピンまわりのモーメントをとり、続いて ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。成分は最後に合成して大きさにします。
ラーメンと機械でよくある間違いは？
  • ピンとピンの間に荷重がある部材を二力部材として扱う。
  • ピン力を、つなぐ 2 つの部材で同じ向きに描く。
  • モーメントの式で、斜めの力そのものを鉛直成分として使う。
  • ピン力の大きさを問われているのに、成分を 1 つしか答えない。
ラーメンと機械の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 二力部材と簡単な機械
  • ふつう: ピン力とリンク機構
  • むずかしい: 多部材のラーメン

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

このトピックの前後のトピック

先に学ぶ

はりの支点反力トラス：節点法

このトピックを含む科目

静力学

機械のほかのトピック

はりの支点反力軸応力とひずみ軸のねじりモールの応力円と応力の座標変換放物運動仕事とエネルギー剛体の回転機械振動熱機関と冷凍機ガスサイクル連続の式とベルヌーイ管摩擦と損失水頭ポンプとポンプ動力熱伝導歯車と歯車列

印刷用ワークシート

解答つきラーメンと機械ワークシート
ラーメンと機械を無料で練習今すぐラーメンと機械を練習毎日 5 問まで無料。カード登録は不要です。