機械振動：ステップごとの解答つき練習問題

1振動とは何か

ばねにおもりをつるし、少し引き下げて放します。おもりは静止位置のまわりを上下に弾みます。この繰り返しの運動が振動です。

このような系にはそれぞれ固有のリズム、固有振動数があります。それはばねの硬さとおもりの重さだけで決まり、どれだけ引いたかには関係しません。

技術者がこれを気にするのは、固有振動数で揺さぶられた機械が激しく振動することがあるからです。これを共振といいます。エンジンマウント、洗濯機、橋は、すべてこれを念頭に置いて設計されています。

硬いばねは振動を速くします。重いおもりは遅くします。

2固有振動数とばねの組み合わせ

ばね定数 k（N/m）のばねについた質量 m（kg）の固有角振動数は、rad/s で次のとおりです：

1 周期は 2π ラジアンです。したがって、ヘルツ（1 秒あたりのサイクル数）での固有振動数と、周期（1 サイクルあたりの秒数）は次のとおりです：

ときには、重さによるばねのたわみ、すなわち静的たわみ δ_st = m·g/k しかわからないことがあります。その場合は ω_n = √(g / δ_st) で、δ_st はメートルです。

ばねが複数あるときは、まずそれらを 1 つの等価ばねに置き換えます：

• 並べて取り付ける（並列）と、ばねは荷重を分け合い、ばね定数は足されます。
• 端と端をつなぐ（直列）と、各ばねが荷重の全体を受け、等価ばねはどちらよりも柔らかくなります。

3減衰

実際の振動は減衰して止まります。ダンパー（自動車のショックアブソーバーのように、油の中を動くピストン）がエネルギーを奪います。その強さが減衰係数 c（N·s/m）です。

臨界減衰は、おもりがまったく弾まなくなる最小の減衰量です：

減衰比は、実際の減衰をその臨界値と比べます：

• ζ < 1：不足減衰。おもりはまだ振動しますが、振れは小さくなっていきます。
• ζ = 1：臨界減衰。行き過ぎることなく、できるだけ速く静止に戻ります。
• ζ > 1：過減衰。振動せずにゆっくりと戻ります。

不足減衰の系は、減衰のない系より少し遅く、減衰固有振動数で振動します：

4ステップごとの方法

1. すべてを SI 単位に換算します：kN/m は N/m へ（× 1000）、mm は m へ、グラムは kg へ。
2. ばねが複数あるなら、1 つの k にまとめます：並列では足し、直列では逆数を足します。
3. ω_n = √(k/m) を rad/s で求めます。
4. 問われているのがヘルツなら、2π で割ります：f_n = ω_n/(2π)。周期は T = 1/f_n です。
5. 減衰があるときは、c_c = 2·√(k·m) を求め、次に ζ = c/c_c、求められれば ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) を求めます。

ω（rad/s）と f（Hz）を区別しておきます。両者は 2π ≈ 6.28 倍違い、取り違えるのは点を落とすいちばんよくある原因です。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• f_n（Hz）が問われているのに ω_n（rad/s）で答える、またはその逆。
• ばね定数を kN/m のままにすること。式には N/m が必要です。
• 直列のばねを並列のように足すこと。
• c_c = 2·√(k·m) の 2 を忘れること。
• ω_n = √(k/m) で、質量 m の代わりに重さ m·g を使うこと。

7試験問題の例

• やさしい：固有振動数。ばねについたおもりで、ω_n（rad/s）または f_n（Hz）を求めます。機械のマウント上での静的たわみだけが与えられる問題もあります。
• ふつう：減衰比。m、k、c から ζ を求める、または与えられた ζ から減衰振動数 f_d を求めます。自由振動試験の 2 つのピークが与えられる問題もあります。
• むずかしい：直列と並列のばね、ときには両方（棒を支える 2 本の並列ばねと、その下の 3 本目のばね）。まず k_eq を求め、次に f_n を求めます。

n サイクル離れた 2 つのピーク x₀ と x_n には、対数減衰率を使います：