熱機関と冷凍機：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の熱機関と冷凍機練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：サイクルの第 1 法則, カルノー限界, 冷蔵庫とヒートポンプ。

無料の練習問題やさしい
家外気HPQ̇H​ = 17 kWQ̇L​ = ?Ẇ

成績係数 2.9 のヒートポンプが家に 17 kW の熱を供給する。 外気から熱をくみ上げる割合 Q̇L を求めよ。

COPHP = 2.9Q̇H = 17 kW
kW
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練習する内容

  1. やさしいサイクルの第 1 法則
  2. ふつうカルノー限界
  3. むずかしい冷蔵庫とヒートポンプ

重要な公式

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

熱機関と冷凍機をゼロから学ぶ

1熱機関とは何か

熱機関は、熱を仕事に変えます。自動車のエンジン、発電所の蒸気タービン、ジェットエンジンは、すべて熱機関です。

すべての熱機関は同じように働きます。高温のものから熱 QH を取り込み、その一部を仕事 W に変え、残り QC を低温のものに捨てます。

TH​TC​EQH​QC​W

高温と低温の場所は熱源（リザーバー）と呼ばれます：炎、ボイラー、外気、川などです。それらは非常に大きいので、温度は変化しません。

エンジンはサイクルで動きます：1 回転ごとに、同じ状態に戻ります。したがって、内部にエネルギーが溜まることはありません。入ったものは、出なければなりません。

QH = W + QC
セルフチェック あるエンジンが、1 サイクルあたり 100 kJ の熱を取り込み、40 kJ の仕事を出します。どれだけの熱を捨てますか？
  1. 140 kJ
  2. 2.5 kJ
  3. 40 kJ
  4. 60 kJ

答え: 60 kJ. 入るエネルギーは出るエネルギーに等しい：QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ です。足す（140 kJ）のは、仕事を入力として数えています。

2効率とカルノーの限界

熱効率は、入力した熱のうち仕事になる割合です。

η = W / QH = 1 − QC / QH

どんなエンジンも、熱のすべてを仕事に変えることはできません。必ず、捨てなければならない熱があります。これが熱力学第二法則です。

2 つの温度の間で動く最良のエンジンは、理想的なカルノーエンジンです。その効率は、熱源の温度（ケルビン）だけで決まります。

ηmax = 1 − TC / TH

必ず先にケルビンに換算します：T(K) = T(°C) + 273.15。°C のままでは、式はでたらめな値になります。

実際のエンジンは、常に η < ηmax です。カルノーの限界を超えると主張するエンジンは不可能です。

セルフチェック 327 °C と 27 °C の間で動くエンジンの最高の効率はいくらですか？
  1. 100%
  2. 50%
  3. 8.3%
  4. 91.7%

答え: 50%. ケルビンでは：600.15 K と 300.15 K なので、ηmax = 1 − 300.15/600.15 = 50% です。°C の値を式に入れると 1 − 27/327 = 91.7% になりますが、間違いです。

3冷凍機とヒートポンプ

冷凍機は、エンジンを逆向きに動かすものです。仕事 W が入り、熱が低温側から高温側へくみ上げられます。

TH​TC​RQH​QC​W

ヒートポンプは同じ機械を暖房に使うものです：寒い外気から熱を取り、暖かい家に届けます。エネルギー収支は同じく QH = W + QC です。

効率の代わりに、成績係数（COP）を使います：望むものを、支払う仕事で割ったもの。たいてい 1 より大きくなります。

COPR = QC / W COPHP = QH / W = COPR + 1

カルノーの限界は、ここでも温度をケルビンにして次のとおりです。

COPR,max = TC / (TH − TC) COPHP,max = TH / (TH − TC)
セルフチェック ヒートポンプが、2 kW の電気を使って 6 kW の熱を家に届けます。外気から取り込む熱はいくらですか？
  1. 12 kW
  2. 3 kW
  3. 4 kW
  4. 8 kW

答え: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW です。COP は 6/2 = 3 なので、3 kW は熱の流れではなく COP です。

4ステップごとの方法

  1. 装置を 2 つの熱源の間に描き、QH、QC、W の矢印を描きます。エンジンか、冷凍機 / ヒートポンプかを判断します。
  2. エネルギー収支 QH = W + QC を書きます。これは、理想的かどうかにかかわらず、すべての装置で成り立ちます。kW での率も、kJ での量と同じように扱えます。
  3. 温度が与えられたら、ケルビンに換算します。
  4. 正しい指標を使います：エンジンには η = W/QH、冷凍機には COPR = QC/W、ヒートポンプには COPHP = QH/W。
  5. 最良の装置には、カルノーの式を使います。すると、未知の熱や仕事がエネルギー収支から求まります。

「最大の仕事」「最高の効率」「最小の入力動力」「可逆」は、すべてカルノーの限界を指しています。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

熱機関が、500 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で動きます。1 サイクルあたり 3000 kJ の熱を取り込みます。生み出せる仕事の最大値を求めなさい。ある発明家は 1 サイクルあたり 2000 kJ を主張しています。それは可能ですか？

1

エンジンを描く

500 °C25 °CE3000 kJQC​W = ?

最大の仕事は、同じ 2 つの熱源の間で動く理想的なカルノーエンジンから得られます。

2

ケルビンに換算する

TH = 500 + 273.15 = 773.15 K
TC = 25 + 273.15 = 298.15 K
3

カルノー効率

ηmax = 1 − 298.15 / 773.15 = 1 − 0.3856 = 0.614

最良でも、熱の 61.4% が仕事になりえます。

4

最大の仕事

Wmax = ηmax · QH = 0.6144 · 3000 = 1843 kJ
5

答えを確認する

理想的なエンジンは QC = 3000 · 298.15/773.15 = 1157 kJ を捨てます。すると W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ で、入力した熱と一致します。

6

主張を判断する

2000 kJ は、完全なエンジンでさえ出せる 1843 kJ より大きいです。この主張は熱力学第二法則に反するので、不可能です。

答え

1 サイクルあたり Wmax ≈ 1843 kJ（ηmax ≈ 61.4%）なので、2000 kJ という主張は不可能です。

6よくある間違い

  • カルノーの式に °C の温度を入れること。必ずケルビンを使います。
  • 2 つの COP を混同すること。冷凍機は QC（取り除いた熱）を、ヒートポンプは QH（届けた熱）を数えます。
  • 熱量が与えられているのに、実際のエンジンにカルノー効率を使うこと。その場合は、実際の数値から η = W/QH です。
  • 冷凍機の仕事も熱として放出されることを忘れること：QH = QC + W なので、台所は冷蔵庫が取り除く以上の熱を受け取ります。
  • 計算の中で、効率を 0.614 ではなく 61.4 と書くこと。
セルフチェック 27 °C の台所で、内部を 0 °C に保つ冷蔵庫の最高の COP はいくらですか？
  1. 0.91
  2. 0
  3. 10.1
  4. 11.1

答え: 10.1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273.15/27 = 10.1 です。分子に TH を置くとヒートポンプの値 11.1 になり、0 °C をそのまま使うと 0 になります。

7試験問題の例

  • やさしい：サイクルの第一法則。QH、W、QC のうち 2 つから、3 つ目または効率を求めます。発電所（MW）、COP が与えられた冷凍機やヒートポンプを使うバリエーションもあります。
  • ふつう：カルノーの限界。熱源の温度から ηmax または Wmax を求めます。第二法則効率（η/ηmax）、可逆エンジンの低温熱源の温度、可逆冷凍機が捨てる熱を求める問題もあります。
  • むずかしい：カルノーの限界にある冷凍機とヒートポンプ：COPmax または最小の入力動力を求めます。2 つの装置をつなぐ問題や、実際のエンジンが生成するエントロピーを求める問題もあります。

最小の入力動力：まず温度から COPmax を求め、次に Wmin = QH/COPHP,max または QC/COPR,max。

1 サイクルあたりのエントロピー生成：Sgen = QC/TC − QH/TH。これは 0 以上でなければなりません。

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解答例

例題 1やさしい
家外気HPQ̇H​ = 4 kWQ̇L​ = ?Ẇ

成績係数 5 のヒートポンプが家に 4 kW の熱を供給する。 外気から熱をくみ上げる割合 Q̇L を求めよ。

COPHP = 5Q̇H = 4 kW

求めるもの： Q̇L (kW)

ヒントを表示
  1. ヒートポンプの有効な出力は供給する熱です：COPHP = Q̇H/Ẇ。
  2. サイクル全体のエネルギー収支：Q̇L = Q̇H − Ẇ。
  3. Ẇ = 0.8 kW.
答えとステップごとの解答を表示

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

入力動力

Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0.8 kW

外気からくみ上げる熱

Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0.8 = 3.2 kW

答え

Q̇L = 3.2 kW
例題 2ふつう
TH​ = 625 °CTL​ = ?EQH​ = 3100 kJQL​ = 977 kJW

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 625 °C の熱源から 3100 kJ の熱を受け取り、977 kJ を放出する。低温熱源の温度 TL を °C で求めよ。

TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ

求めるもの： TL (°C)

ヒントを表示
  1. 可逆サイクルでは、熱量の比は絶対温度の比に等しくなります：QL/QH = TL/TH。
  2. 絶対温度を使います：K = °C + 273.15。
  3. TH = 898.1 K.
答えとステップごとの解答を表示

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

熱源の絶対温度

TH = 625 + 273.15 = 898.1 K

可逆サイクルの熱量比

TL = TH·QL/QH = 898.1·977/3100 = 283.1 K = 9.912 °C

答え

TL = 9.912 °C
例題 3むずかしい
TH​ = 20 °CTL​ = 2 °CHPQ̇H​ = 14 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが、外気 2 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 14 kW の熱を供給する。 必要な最小入力動力 Ẇmin を求めよ。

TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW

求めるもの： Ẇmin (kW)

ヒントを表示
  1. ヒートポンプの COP は、供給する熱を入力仕事で割ったものです：COP = QH/W。可逆の限界は TH/(TH − TL)。
  2. 絶対温度を使います：K = °C + 273.15。
  3. COP = 16.29.
答えとステップごとの解答を表示

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 20 + 273.15 = 293.1 K
TL = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能な最良の COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16.29 = 0.8596 kW

答え

Ẇmin = 0.8596 kW

質問と回答

熱機関と冷凍機とは？

すべての熱機関は同じように働きます。高温のものから熱 QH を取り込み、その一部を仕事 W に変え、残り QC を低温のものに捨てます。

高温と低温の場所は熱源（リザーバー）と呼ばれます：炎、ボイラー、外気、川などです。それらは非常に大きいので、温度は変化しません。

熱機関と冷凍機の問題の解き方は？（手順）

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

熱機関と冷凍機でよくある間違いは？
  • COP = Q<sub>H</sub>/W から仕事が求まり、外気からの熱は Q<sub>L</sub> = QH − W です。
  • それは入力仕事です。外気からの熱は Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W です。
  • 可逆サイクルで Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> が成り立つのは絶対温度を使ったときだけです。まずケルビンに換算し、最後に °C に戻しましょう。
熱機関と冷凍機の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: サイクルの第 1 法則
  • ふつう: カルノー限界
  • むずかしい: 冷蔵庫とヒートポンプ

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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