熱伝導：ステップごとの解答つき練習問題

1熱伝導とは何か

熱は常に高温から低温へ流れます。固体の内部では熱伝導によって伝わります：暖かい側で激しく振動する粒子が、そのエネルギーを隣の粒子に渡すのです。

冬の日には、暖かい部屋から壁を通って、このようにして熱が逃げます。どれだけ漏れるかは、温度差、壁の面積、厚さ、そして材料によって決まります。

材料によって大きく異なります。熱伝導率 k（単位 W/(m·K)）は、熱がどれだけ通りやすいかを表します。

• コンクリート：約 1.4 W/(m·K)。レンガ：約 0.72。
• 木材：約 0.17。
• ミネラルウール：約 0.04。発泡ポリスチレン：約 0.035。

k が低いほど、よい断熱材です。だから家の壁の内側には、ウールや発泡材の層があります。

このトピックでは、温度は時間とともに変化しません。これを定常熱伝導といいます。

2フーリエの法則と熱抵抗

厚さ L、面積 A の平らな壁で、その両面の温度が T₁ と T₂ のとき、熱の流れる速さ（単位 W）はフーリエの法則で与えられます。

温度は、壁の中を直線的に下がります。熱流束は 1 平方メートルあたりの流れです：q″ = Q̇ / A（単位 W/m²）。

壁を、電気回路と同じように抵抗と考えると役立ちます。温度差が熱を駆動し、壁がそれに抵抗します。

熱抵抗 R の単位は K/W です。壁が厚いほど、あるいは k が低いほど抵抗は高くなり、熱損失は少なくなります。°C での温度差は、K での数値と同じです。

3複数の層をもつ壁

実際の壁は、レンガ、断熱材、石膏ボードなどの層でできています。同じ熱が各層を順に通り抜けるので、層は直列の抵抗です。足し合わせます。

各層は、抵抗に比例して、全体の温度降下の一部を受け持ちます：ΔT₁ = Q̇ · R₁。断熱層が最も大きな降下を受け持ちます。

壁に接する空気も、熱に抵抗します。この対流抵抗は R = 1/(h · A) で、h は対流熱伝達率（単位 W/(m²·K)）です。層と同じように直列に加えます。

U 値は、空気の膜も含めた壁全体を、1 m² あたり、1 ケルビンあたりの熱の流れとして表したものです。

4ステップごとの方法

1. 壁を、その層とともに描きます。各厚さをメートルで書き、各 k をその横に書きます。
2. すべての層の抵抗を計算します：R = L/(k·A)。片側に空気があれば、その側に R = 1/(h·A) を加えます。
3. すべての抵抗を直列に足します。
4. 熱の流れを求めます：Q̇ = (全体の温度差) / R_total。
5. 壁の中の温度を求めるには、既知の温度から始めて、通過する各層ごとに Q̇ · R を引きます。

よい確認方法：すべての層にわたる温度降下の合計は、全体の温度差に等しくなければなりません。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 厚さを mm のままにすること。k の値は 1 メートルあたりなので、L はメートルでなければなりません。
• 2 つの層の k の値を平均する、または足すこと。代わりに、抵抗 L/(k·A) を足します。
• 面積を忘れること：壁全体では R = L/(k·A)、1 平方メートルでは R = L/k です。
• 境界面の温度を求めるときに、違う側から始めること。温度は常に熱の流れる向きに下がります。
• 室内と室外の空気の温度が与えられているのに、空気の膜（1/(h·A)）を除くこと。

7試験問題の例

• やさしい：単層の壁。フーリエの法則で、熱の流れ Q̇ または熱流束 q″ を求めます。
• ふつう：2 層の複合壁。熱の流れ、または層の境界面の温度 T_i を求めます。
• むずかしい：室内の空気と室外の空気の間にある、両側に対流がある壁。U 値、熱損失、または室内側表面の温度 T_s を求めます。

室内側表面の温度を求めるには、室内の空気から始め、室内側の空気の膜だけを通ります：T_s = T_room − Q̇ / (h_i · A)。

例：上の壁で、室内が h = 8 W/(m²·K)、室外が 25 W/(m²·K) の場合、R_total = 0.0125 + 0.1528 + 0.004 = 0.1693 K/W なので、U = 1/(0.1693 · 10) = 0.59 W/(m²·K) です。