軸応力とひずみ：ステップごとの解答つき練習問題

1応力とは

鋼の棒を引っ張ると、棒は抵抗します。棒が壊れるかどうかは、力だけでなく、その力を何本分の材料で分担するかにも依存します。

細い針金と太いケーブルは、同じ荷重を運べます。ただし細い針金のほうがはるかに壊れやすくなります。1 平方ミリメートルあたりの負担が大きいからです。

垂直応力 σ（シグマ）は、断面の単位面積あたりの力です。力 P は棒の軸方向に作用するので、これを軸荷重といいます。

技術者はニュートンとミリメートルで計算します。1 ニュートン毎平方ミリメートルは 1 メガパスカルです：

したがって、まず kN を N に換算します（× 1000）。直径 d の丸棒では、断面積は円の面積です：

2ひずみとフックの法則

荷重を受けると、棒は少し長くなります。この長さの変化が伸び δ（デルタ）です。

ひずみ ε（イプシロン）は、伸びを元の長さで割ったものです。mm 毎 mm なので単位はありません：

金属のひずみは非常に小さいので、マイクロひずみで表すことがよくあります：1 µε = 10⁻⁶。ひずみ 0.0008 は 800 µε です。

ほとんどの材料では、荷重が大きすぎない限り、応力とひずみは比例します。これがフックの法則です：

E はヤング率で、材料の硬さを表します。鋼は E ≈ 200 GPa、アルミニウムは約 70 GPa です。1 GPa = 1000 MPa なので、鋼は E = 200 000 MPa です。

3 つの式を組み合わせると、伸びが直接求められます：

3ステップごとの方法

1. すべての値を N と mm で書きます：P は N（kN × 1000）、長さは mm（m × 1000）、E は MPa（GPa × 1000）。
2. 面積を求めます：丸棒では A = π·d²/4。
3. 応力を求めます：σ = P/A（MPa）。
4. ひずみを求めます：ε = σ/E。答えを µε で求めるなら 10⁶ を掛けます。
5. 伸びを求めます：δ = ε·L（mm）。

問題が求める手順で止めましょう。ほとんどの問題は、最初の 2〜3 手順だけを使います。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

5複数の区間をもつ棒

段付き棒は、直径が異なる、ときには材料も異なる区間でできています。

棒をどこで切っても、切断面の右側の部分を考えます。それを引っ張るのは P だけなので、どの区間にも同じ力 P が作用します。

面積が異なるので、応力も異なります。最も細い区間の応力が最大です。

各区間は、それぞれの A、L、E で別々に伸びます。全体の伸びはその和です：

6よくある間違い

• kN を N に換算し忘れる。応力が 1000 倍小さくなります。
• MPa の応力と並べて、GPa の E を使う。E は MPa（GPa × 1000）で書きましょう。
• 円の面積に π·d²/4 ではなく π·d² または π·d を使う。
• δ を mm で求めたいのに、L を m のままにする。
• 段付き棒の区間どうしで P を分けてしまう。どの区間にも P の全体が作用します。

7試験問題の例

• やさしい：垂直応力。直径 d の丸棒が P を支えます。σ = P/A を求めます。
• ふつう：ひずみと伸び。L と材料の E も与えられます。ε（µε）または δ（mm）を求めます。
• むずかしい：2 つの区間をもつ段付き棒（材料が異なることもあります）。全体の伸び、または最大応力を求めます。

すべての数に単位を書きましょう。このトピックの誤答のほとんどは、1000 倍の違いです。