ガスサイクル：ステップごとの解答つき練習問題

Q: ガスサイクルの問題の解き方は？（手順）

オットーサイクル（火花点火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等容加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ を用いると、T₂ = T₁·rk−1、η = 1 − 1/rk−1 です。加熱量：qin = cv·(T₃ − T₂)。正味仕事 w = η·qin。

Q: ガスサイクルの練習では何を学ぶ？

やさしい: オットーサイクル ふつう: ディーゼルサイクル むずかしい: ブレイトンサイクル 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

図、ヒント、詳しい解答つきの無料のガスサイクル練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：オットーサイクル, ディーゼルサイクル, ブレイトンサイクル。

無料の練習問題やさしい

理想オットーサイクルの圧縮比は 10.5 である。圧縮開始時の空気の温度は 295 K、サイクルの最高温度は 1800 K である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w を kJ/kg で求めよ。

r = 10.5T₁ = 295 KT₃ = 1800 Kk = 1.4c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

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練習する内容

やさしいオットーサイクル
ふつうディーゼルサイクル
むずかしいブレイトンサイクル

重要な公式

等エントロピー変化（体積比）: T₂/T₁ = r^k−1
等エントロピー変化（圧力比）: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
オットーサイクルの効率: η = 1 − 1/r^k−1
ディーゼルサイクルの効率: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ブレイトンサイクルの効率: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
加熱量: オットー：c_v(T₃ − T₂) ディーゼル、ブレイトン：c_p(T₃ − T₂)
ブレイトンサイクルの正味仕事: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
断熱効率: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
冷空気標準: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

ガスサイクルをゼロから学ぶ

事前に学ぶこと：熱機関と冷凍機, 理想気体の状態方程式

1ガスサイクルとは何か

自動車のエンジンやガスタービンは、空気を作動ガスとして使う熱機関です。空気は圧縮され、燃料を燃やして加熱され、ピストンやタービンを押しながら膨張し、その後排出されます。

実際のエンジンは複雑です。計算のために、技術者は空気標準モデルを使います：一定量の空気が、4 つの単純な過程からなる閉じたサイクルを回り、燃料の燃焼は熱の添加に置き換えられます。

冷たい空気標準の仮定では、空気は性質が一定の理想気体です：k = c_p/c_v = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K)。

3 つのサイクルが出てきます。

オットー：ガソリンエンジン。熱は定容で加えられます。火花が燃料をほぼ瞬時に燃やすようなものです。
ディーゼル：ディーゼルエンジン。熱は、ピストンが動く間、定圧で加えられます。
ブレイトン：ガスタービン。空気は圧縮機、燃焼室、タービンを通って流れます。

ピストンエンジンで最も重要な数は圧縮比 r = v₁/v₂ です：最大容積を最小容積で割ったもの。

セルフチェックシリンダーは、ピストンが下にあるとき 0.5 L、上にあるとき 0.05 L を含みます。圧縮比はいくらですか？

0.1
0.45
10
9

答え: 10. r = 最大容積 / 最小容積 = 0.5/0.05 = 10 です。逆に割ると 0.1 になり、容積の差（0.45 L）は比ではありません。

2等エントロピー過程とオットーサイクル

理想サイクルでは、圧縮と膨張は摩擦なく、熱の出入りなしに起こります。このような過程を等エントロピーといいます。理想気体では、温度は容積比に従います。

T₂ / T₁ = r^k−1 = r^0.4

空気を 8 分の 1 の容積まで圧縮すると、300 K から約 689 K まで加熱されます。これが、ディーゼルエンジンに火花が要らない理由です。

オットーサイクルは 4 つの過程からなり、圧力–容積線図で表されます。

1 → 2：等エントロピー圧縮。T は r^0.4 倍に上がります。
2 → 3：定容で熱を加える：q_in = c_v·(T₃ − T₂)。
3 → 4：等エントロピー膨張。T は同じ r^0.4 の因子で下がります。
4 → 1：定容で熱を捨てる：q_out = c_v·(T₄ − T₁)。

1 kg あたりの正味仕事は w = q_in − q_out で、効率は圧縮比だけで決まります。

η_Otto = 1 − 1 / r^k−1

セルフチェック圧縮比 10 の理想オットーサイクルの熱効率はいくらですか？（k = 1.4）

39.8%
60.2%
90%
96.0%

答え: 60.2%. 10^0.4 = 2.512 なので、η = 1 − 1/2.512 = 60.2% です。指数を除くと 1 − 1/10 = 90%、39.8% は失われる部分である 1/r^0.4 です。

3ディーゼルサイクルとブレイトンサイクル

ディーゼルサイクルは、定圧で熱を加えます。加熱の間に、容積は締切比 r_c = v₃/v₂ だけ増えます。定圧では、温度も同じ因子で増えます。

T₃ = r_c · T₂ q_in = c_p · (T₃ − T₂)

η_Diesel = 1 − (1 / r^k−1) · (r_c^k − 1) / (k · (r_c − 1))

ガスタービンのブレイトンサイクルは、容積比の代わりに圧力比 r_p = p₂/p₁ で表されます。このとき、等エントロピーの関係式は別の指数をもちます。

T₂ / T₁ = r_p^(k−1)/k = r_p^0.2857

η_Brayton = 1 − 1 / r_p^(k−1)/k

圧縮機は仕事を消費し、タービンは仕事を出します。1 kg あたりの正味仕事は、その残りです。

w_net = c_p · [(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]

セルフチェック圧力比 8 の理想ブレイトンサイクルの効率はいくらですか？（k = 1.4）

44.8%
55.2%
56.5%
87.5%

答え: 44.8%. 8^0.2857 = 1.811 なので、η = 1 − 1/1.811 = 44.8% です。容積の指数 0.4（オットーの式）を使うと 56.5% になりますが、圧力比には間違いです。

4ステップごとの方法

サイクル（オットー、ディーゼル、ブレイトン）を見分け、圧縮の前から始めて 4 つの状態に 1 から 4 の番号をつけます。
すべての温度をケルビンに換算します。
圧縮 1 → 2：容積比なら T₂ = T₁·r^0.4、圧力比なら T₁·r_p^0.2857。
加熱 2 → 3：オットー（定容）には c_v、ディーゼルとブレイトン（定圧）には c_p を使います。
膨張 3 → 4：T₃ を同じ種類の因子で割ります（ディーゼルでは v₄/v₃ = r/r_c を使います）。
q_out を求め、次に w = q_in − q_out、η = w/q_in を求めます。確認として、η をそのサイクルの式と比べます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

理想オットーサイクルの圧縮比は 8 です。圧縮の開始時に空気は 300 K で、サイクル中の最高温度は 1800 K です。冷たい空気標準の仮定（k = 1.4、c_v = 0.718 kJ/(kg·K)）を使います。効率と、空気 1 kg あたりの正味仕事を求めなさい。

サイクルを描く

状態 1 は 300 K です。最高温度は状態 3 にあるので、T₃ = 1800 K です。T₂ と T₄ を求める必要があります。

圧縮 1 → 2

r^0.4 = 8^0.4 = 2.297

T₂ = 300 · 2.297 = 689.2 K

加熱 2 → 3

熱は定容で入るので、c_v を使います。

q_in = 0.718 · (1800 − 689.2) = 797.5 kJ/kg

膨張と排熱

T₄ = 1800 / 2.297 = 783.5 K

q_out = 0.718 · (783.5 − 300) = 347.1 kJ/kg

正味仕事と効率

w = 797.5 − 347.1 = 450.4 kJ/kg

η = 450.4 / 797.5 = 0.565 = 56.5%

答えを確認する

オットーの式では η = 1 − 1/2.297 = 56.5% です。同じなので、温度は正しいことがわかります。

答え

η ≈ 56.5%、w ≈ 450 kJ/kg。

6よくある間違い

等エントロピーの関係で °C を使うこと。T₂/T₁ = r^0.4 は、ケルビンでしか成り立ちません。
圧力比に指数 k − 1 = 0.4 を使うこと。圧力比には (k − 1)/k = 0.2857 が必要です。
オットーサイクルに c_p を、ディーゼルやブレイトンに c_v を使うこと。定容は c_v、定圧は c_p と組み合わせます。
ブレイトンサイクルで圧縮機の仕事を忘れること：正味仕事は、タービンの仕事から圧縮機の仕事を引いたものです。
k − 1 の代わりに指数 k を使うこと。

セルフチェック 27 °C の空気を、圧縮比 8 で等エントロピー圧縮します（k = 1.4）。圧縮後の温度はいくらですか？

2401 K
5514 K
62.0 K
689.6 K

答え: 689.6 K. T₁ = 300.15 K なので、T₂ = 300.15 · 8^0.4 = 689.6 K です。27 を使うと 62.0、指数を除くと 2401 K、指数 1.4 を使うと 5514 K になります。

7試験問題の例

やさしい：オットーサイクル。r から効率、圧縮後の温度 T₂、または最高温度が与えられたときの 1 kg あたりの正味仕事を求めます。
ふつう：圧縮比と締切比をもつディーゼルサイクル。加熱終了時の T₃、加えた熱 q_in、または効率を求めます。
むずかしい：ガスタービンのブレイトンサイクル。圧力比から効率を、または圧縮機とタービンの入口温度から 1 kg あたりの正味仕事を求めます。

どの問題でも、冷たい空気標準の値が再掲されます。必要なのは k = 1.4 と、c_v または c_p のどちらかだけです。

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解答例

例題 1やさしい

理想オットーサイクルの圧縮比は 6 である。圧縮開始時の空気の温度は 305 K、サイクルの最高温度は 2000 K である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの正味仕事 w を kJ/kg で求めよ。

r = 6T₁ = 305 KT₃ = 2000 Kk = 1.4c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

求めるもの： w (kJ/kg)

ヒントを表示

等エントロピー圧縮後の T₂ を求めます。
q_in = c_v·(T₃ − T₂), η = 1 − 1/r^k−1.
T₂ = 624.5 K.

答えとステップごとの解答を表示

オットーサイクル（火花点火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等容加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、η = 1 − 1/r^k−1 です。加熱量：q_in = c_v·(T₃ − T₂)。正味仕事 w = η·q_in。

圧縮の終わり

T₂ = 305·6^0.4 = 624.5 K

等容加熱量

q_in = 0.718·(2000 − 624.5) = 987.6 kJ/kg

正味仕事

η = 1 − 1/6^0.4 = 0.5116

w = η·q_in = 0.5116·987.6 = 505.3 kJ/kg

答え

w = 505.3 kJ/kg

例題 2ふつう

理想ディーゼルサイクルの圧縮比は r = 16、締切比は r_c = v₃/v₂ = 2.2 である。圧縮開始時の空気の温度は 310 K である。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。空気 1 kg あたりの加熱量 q_in を kJ/kg で求めよ。

r = 16r_c = 2.2T₁ = 310 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

求めるもの： q_in (kJ/kg)

ヒントを表示

T₂（等エントロピー圧縮）と T₃ = r_c·T₂ を求めます。
q_in = c_p·(T₃ − T₂).
T₂ = 939.7 K, T₃ = 2067 K.

答えとステップごとの解答を表示

ディーゼルサイクル（圧縮着火機関）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 等エントロピー膨張、4→1 等容放熱。圧縮比 r = v₁/v₂ と締切比 r_c = v₃/v₂ を用いると、T₂ = T₁·r^k−1、T₃ = r_c·T₂、q_in = c_p·(T₃ − T₂)、η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)) です。

温度

T₂ = 310·16^0.4 = 939.7 K

T₃ = 2.2·939.7 = 2067 K

等圧加熱量

q_in = 1.005·(2067 − 939.7) = 1133 kJ/kg

答え

q_in = 1133 kJ/kg

例題 3むずかしい

理想ブレイトンサイクルが圧縮機の圧力比 20 で運転されている。冷空気標準の仮定を用いる：空気は比熱一定の理想気体で、k = 1.4、c_p = 1.005 kJ/(kg·K)、c_v = 0.718 kJ/(kg·K) とする。理論熱効率 η をパーセントで求めよ。

r_p = 20k = 1.4

求めるもの： η (%)

ヒントを表示

理想ブレイトンサイクルの効率は圧力比と k だけで決まります。
η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k.
(k − 1)/k = 0.2857, r_p^0.2857 = 2.354.

答えとステップごとの解答を表示

ブレイトンサイクル（ガスタービン）：1→2 等エントロピー圧縮、2→3 等圧加熱、3→4 タービンでの等エントロピー膨張、4→1 等圧放熱。圧力比 r_p = P₂/P₁ を用いると、T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k、T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k、η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k です。正味仕事 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]。断熱効率を考えると、圧縮機には w_s/η_c が必要で、タービンは η_t·w_s を出します。