はりの支点反力：ステップごとの解答つき練習問題

1支点反力とは

はりは、棚、床の根太、小さな橋のように、すき間に荷重を渡す、長くまっすぐな部材です。

はりは支点の上にのっています。荷重がはりを押し下げると、支点が押し返します。これらの上向きの力が支点反力です。

ここでは、10 kN の荷重がちょうど中央にあります。対称性から、それぞれの支点がその半分を支えます：R_A = R_B = 5 kN。

荷重が中央にないときは、近い支点のほうが多く支えます。それが正確にどれだけかを求めるのが、この授業の主題です。

せん断力、曲げモーメント、応力、たわみなど、ほとんどすべてのはりの問題で、まず反力が必要になります。

2支点、モーメント、つり合い

支点の種類ごとに、押し返し方が異なります。

• ローラー（図の B）は、転がる面に対して直角にしか押せません。鉛直の反力が 1 つ生じます。
• ピン（A）は、はりがどの方向にも動かないようにします。鉛直と水平の反力が生じます。鉛直の荷重だけなら、水平の反力は 0 です。
• 壁のような固定支点は、はりが回転しないようにもします。鉛直の力と反力モーメントが生じます。

モーメントは、点まわりに力が回転させる効果です。力に、その点からの垂直距離を掛けたものです：

静止しているはりは、動かず、回転もしません。したがって、3 つのつり合いの式が成り立ちます：

モーメントの式は任意の点のまわりで成り立ちます。その点として支点を選ぶと、その反力は距離が 0 なので、式から消えます。

3分布荷重

床や雪の重さのように、はりに沿って広がる荷重があります。等分布荷重（UDL）は、1 m ごとに同じ値 w（kN/m）をもちます。

反力を求めるときは、等分布荷重を 1 つの力に置き換えられます。その大きさは、1 m あたりの荷重に載荷長さを掛けたもので、載荷された部分の中央に作用します：

図では ℓ = 3 m なので、W = 4 · 3 = 12 kN です。それは荷重の中央、A から x = 1 + 1.5 = 2.5 m の位置に作用します。

片持ちばりは、バルコニーのように、一端だけが固定されています。壁は上向きの力とモーメントを与えます。距離 L の位置に端荷重 P があるとき：R_A = P、M_A = P·L。

この片持ちばりでは、R_A = 5 kN、M_A = 5 · 3 = 15 kN·m です。

4ステップごとの方法

1. はりを描き、各支点をその反力で置き換えます：ピンに R_A、ローラーに R_B。
2. 各等分布荷重を、載荷された部分の中央に作用する 1 つの力 w·ℓ に置き換えます。
3. A まわりのモーメントをとります。R_A が消えるので、R_B が直接求まります：R_B·L = Σ(各荷重 × A からの距離)。
4. ΣF_y = 0 を使います：R_A = (全荷重) − R_B。
5. 確認：B まわりのモーメントをとります。同じ R_A が得られるはずです。

手順 3 の符号の規則：反力 R_B は A まわりではりを一方向に回し、下向きの荷重は逆方向に回します。両者のモーメントはつり合わなければなりません。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 間違った点から距離を測る。A まわりのモーメントの式では、すべての距離を A から測ります。
• 反力を取り違える。A まわりのモーメントから得られるのは R_A ではなく R_B です。
• 等分布荷重を 1 つの力 w·ℓ に置き換え忘れる、またはその力を荷重の中央ではなくスパンの中央に置く。
• 回転の向きを取り違え、モーメントの式で荷重と反力に同じ符号をつけてしまう。
• 確認しない。B まわりの 2 つ目のモーメントの式で、ほとんどの間違いが数秒でわかります。

7試験問題の例

• やさしい：集中荷重が 1 つの単純支持はり。R_A または R_B を求めます。
• ふつう：例題のような、2 つの集中荷重。
• むずかしい：集中荷重と、スパンの一部または全体にわたる等分布荷重。まず等分布荷重を、その中央の w·ℓ に置き換えます。

他の型も同じ 3 つの式を使います：片持ちばり（壁のモーメント M_A を求める）、斜めの荷重（鉛直成分 P·sin θ だけを使う）、作用する偶力、支点の外に張り出したはり、三角形分布荷重（合力 ½·w·ℓ は、高い側の端から長さの 3 分の 1 の位置）。

はりの下の寸法を注意して読み、始める前に各距離を A から書き出します。