軸のねじり：ステップごとの解答つき練習問題

1ねじりとは何か

軸は、回転する棒で、回転力を伝えます：自動車の駆動軸、ドリルのスピンドル、ポンプの車軸などです。

回転力がトルク T です。それは、力とそれが作用する腕の長さの積で、単位は N·m です。0.5 m のレンチの先を 200 N で押すと、T = 200 · 0.5 = 100 N·m になります。

トルクを受ける軸はねじりを受けています。わずかにねじれ、その材料はせん断応力 τ（タウ）を受け持ちます：軸の隣り合うスライスが、互いにすれ違おうとします。

設計では 2 つの問いが重要です：せん断応力は十分に低いか（強度）、ねじれは十分に小さいか（剛性）？

2せん断応力と極断面二次モーメント

軸の中心はほとんど変形しません。中心から離れた点ほど、よりせん断されます。したがってせん断応力は半径に比例して直線的に増え、中心でゼロ、表面で最大になります。

ここで ρ（ロー）は中心からの距離、r = d/2 は外半径、J は極断面二次モーメントです。J は、断面がねじりにどれだけよく抵抗するかを測ります。

直径 d の中実軸と、外径 d_o、内径 d_i の中空軸では：

中実軸では、2 つの式を合わせて 1 つの短い式にできます。

N·mm と mm で計算すると、応力は N/mm² = MPa で出ます。1 N·m = 1000 N·mm です。

3ねじれ角と動力

軸の自由端はねじれ角 φ（ファイ）だけ回転します。長い、あるいは細い軸ほどよくねじれ、硬い材料ほどねじれにくくなります。

G は材料のせん断弾性係数です：鋼で約 80 GPa、アルミニウムで 26 GPa。この式は φ をラジアンで与えます。度にするには 180/π をかけます。

軸はしばしばモーターからの動力を運びます。動力はトルクと角速度の積で、rpm での速さは、まず rad/s にしなければなりません。

したがって、kW と rpm が与えられる問題は、P をワットにして T = P/ω から始まります。

4ステップごとの方法

1. 動力と回転速度が与えられたら、先にトルクを求めます：ω = 2πN/60、次に T = P/ω。
2. N と mm に換算します：T は N·mm（N·m × 1000）、L は mm、G は MPa（GPa × 1000）。
3. J を求めます：中実軸では π·d⁴/32、中空軸では π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。
4. せん断応力：τ_max = T·r/J。r は外半径。
5. ねじれ：φ = TL/(GJ)（ラジアン）、度が問われたら × 180/π。

設計問題（d を求める）では、τ_max = 16T/(πd³) を許容応力に等しいとおいて、d について解きます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• τ = T·r/J で、半径の代わりに直径を使うこと。応力が 2 倍になります。
• N·m を N·mm に換算し忘れること。応力が 1000 分の 1 になります。
• P = T·ω で rpm をそのまま使うこと。先に ω = 2πN/60 で rad/s に換算します。
• 度が求められているのにφをラジアンで答える、またはその逆。
• 中空軸で、直径を引き算してから 4 乗すること。d_o⁴ − d_i⁴ を使います。

7試験問題の例

• やさしい：せん断応力。直径 d の中実軸が T を伝えます。τ_max を求めます。バリエーションとして、ある半径での応力や許容トルクを求める問題があります。
• ふつう：ねじれ角。L と G も与えられ、φを度で求めます。バリエーションとして、中空軸や段付き軸を使います。
• むずかしい：動力の伝達。kW での動力と rpm での回転速度が与えられます。トルクを求め、次に中空軸の τ_max、または許容応力に対する最小直径を求めます。

まず何よりも先に、トルクを N·mm で問題の横に書いておきましょう。それが、以降のすべてのステップで使う数値です。