放物運動：ステップごとの解答つき練習問題

1放物運動とは

放物体（プロジェクタイル）は、重力だけが働いて空中を飛ぶ物体です。蹴られたボール、橋から投げられた石、ホースからの水は、すべて放物体です。

このトピックでは、空気抵抗を無視します。すると、経路は常に放物線と呼ばれるなめらかな曲線になります。

重要な考え方：運動は、2 つの独立した部分に分かれます。横方向には、何も物体を押したり遅くしたりしません。上下方向には、重力が g = 9.81 m/s² で引きます。

したがって、水平方向の速さは常に同じで、鉛直方向の速さは毎秒変わります。2 つの部分が共有するのは、時間だけです。

22 つの運動、1 つの時計

原点を発射点に置き、x を水平、y を鉛直（上向きを正）とします。時間 t の後：

ここで h は地面からの発射の高さ、v_x は水平方向の速度、v_y は鉛直方向の初速度です。

ボールは y = 0 のとき地面に当たります。鉛直方向の式をその時間について解き、同じ時間を水平方向の式に代入します。

水平に発射する場合は v_y = 0 です。鉛直方向の式は h = ½ · g · t² となり、落下時間は次のとおりです：

この落下時間は、水平方向の速さにまったく依存しません。

3角度をつけた発射

ボールを速さ v₀、水平から上向きに角度 θ で発射するときは、まず速度を 2 つの部分、成分に分けます：

平地から発射すると、ボールは鉛直方向の速度が 0 になるまで上昇し、その後落ちてきます。上昇と下降にかかる時間は等しくなります。これから、3 つの有用な結果が得られます：

射程 R の式は、ボールが発射したときと同じ高さに着地する場合にだけ成り立ちます。

4ステップごとの方法

1. 経路を描きます。発射の高さ h、初速度 v₀、角度 θ、求めるものを記入します。
2. 発射速度を成分に分けます：v_x = v₀ · cos θ、v_y = v₀ · sin θ。水平発射では v_y = 0 です。
3. 鉛直運動から飛行時間を求めます：y = h + v_y·t − ½·g·t² で y = 0 とおき、t について解きます。
4. その時間を水平運動に使います：x = v_x · t。
5. ある瞬間の速さは、成分を合成します：v = √(v_x² + (v_y − g·t)²)。

度で与えられた角度の sin や cos をとる前に、電卓が度モードになっているか確認します。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 成分を使うべきところで、全体の速さ v₀ を使う。飛行時間は v_y だけから、射程は v_x だけから求めます。
• sin と cos を取り違える。θ を水平から測るときは、水平成分は cos θ になります。
• 角度が度なのに、電卓がラジアンモードになっている。
• ボールが出発したときより低いまたは高い位置に着地するのに、R = v₀² · sin 2θ / g を使う。その場合は、鉛直方向の式を解かなければなりません。
• 水平運動に加速度を与える。横方向の速さは一定です。

7試験問題の例

• やさしい：崖や壁からの水平発射。飛行時間、着地距離、着地距離から発射の速さ、または着地時の速さを求めます。やさしい問題には、地面からの発射で最高点に達するまでの時間を求めるものもあります。
• ふつう：平地から角度をつけた発射。飛行時間、最大の高さ、射程を求めます。変形として、ある射程を与える発射の速さや角度、ボールが壁を通過する高さを求めるものがあります。
• むずかしい：崖の上から角度をつけた発射、または屋根への着地。y = 0（または屋根の高さ）とおくと、t についての 2 次方程式になります：正の解をとります。

むずかしい場合、水平より下向きの着地角度は、最終的な成分から求まります：tan α = |v_y − g·t| / v_x。