モールの応力円と応力の座標変換：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料のモールの応力円と応力の座標変換練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：主応力, 最大せん断応力と主応力の方向, 斜め断面上の応力。

無料の練習問題やさしい
σx​ = 90σy​ = −20MPa主応力要素

荷重を受ける部品のある点で、面内の主応力は σ₁ = 90 MPa、σ₂ = −20 MPa である（引張を正とする）。 面内最大せん断応力が作用する面に働く垂直応力 σavg を求めよ。

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
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練習する内容

  1. やさしい主応力
  2. ふつう最大せん断応力と主応力の方向
  3. むずかしい斜め断面上の応力

モールの応力円と応力の座標変換の問題の解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

よくある間違い

  • 変換式で 2θ の代わりに θ を使ってしまう。
  • (σx − σy)/2 と τxy を三平方の定理で合成せず、そのまま足してしまう。
  • せん断応力の符号の約束を間違える。

重要な公式

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

モールの応力円と応力の座標変換をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと： 軸応力とひずみ

1なぜ応力は方向に依存するのか

軸方向のレッスンでは、応力は 1 つの数、つまり力を面積で割ったものでした。しかし、ある点での応力は、見る切断面の方向によって変わります。

チョークをひねって折ってみてください。まっすぐ横にではなく、45° のらせん状に折れます。その 45° の面で引張が最大になり、チョークは引張に弱いのです。

ある点での応力を記述するために、技術者は応力要素と呼ばれる小さな正方形を描き、その面にはたらく応力を示します。

σx​σy​τxy​xy
  • σx と σy は垂直応力で、面に直角にはたらきます。正は引張（矢印が外向き）、負は圧縮を意味します。
  • τxy はせん断応力で、面に沿ってはたらきます。正方形をひし形にしようとします。

正方形を回転させると、その面の応力は変化します。このレッスンでは、すべての方向について応力を求める方法と、どの方向が最も危険かを示します。

セルフチェック ある点で σx = −40 MPa です。これは何を意味しますか？
  1. 40 MPa のせん断応力
  2. x 方向に 40 MPa の圧縮
  3. x 方向に 40 MPa の引張
  4. y 方向に 40 MPa の圧縮

答え: x 方向に 40 MPa の圧縮. 通常の符号規則では引張が正なので、負の σx は圧縮で、x に垂直な面にはたらきます。

2モールの応力円

モールの円は、すべての方向を一度に表す図です。円周上の各点は、部材内のその点を通る、あり得る 1 つの切断面を表します。

垂直応力 σ を右向きに、せん断応力 τ を上向きにとります。次に 2 つの点を描きます。

  • 点 x は (σx, τxy)：x に垂直な面の応力、
  • 点 y は (σy, −τxy)：y に垂直な面の応力。

円は両方の点を通ります。その中心 C は σ 軸上にあり、2 点の中間です。半径 R はピタゴラスの定理から求まります。

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

円が σ 軸と交わる場所では、せん断応力はゼロです。この 2 つの値が主応力、すなわちその点での最大と最小の垂直応力です。円の頂点は、面内で最大のせん断応力です。

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
セルフチェック σx = 50 MPa、σy = 10 MPa、τxy = 15 MPa です。σ1 はいくらですか？
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

答え: 55 MPa. C = 30 MPa、R = √(20² + 15²) = 25 MPa なので、σ1 = 55 MPa です。65 はピタゴラスの定理を使わずに 20 + 15 を足した値、50 はせん断応力を無視した値です。

3角度：円上では 2 倍

要素を角度 θ だけ回転させると、モールの円上のその点は、同じ向きに 2θ だけ動きます。反時計回りが正です。

σ1 の方向は、x 軸からの角度 θp で、次から求まります。

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

象限に注意します。σx − σy が負のとき、τxy > 0 なら 2θp に 180° を足し、τxy < 0 なら 180° を引きます。そのあと半分にします。

最大せん断の面は、主方向から 45°（円上では 90°）離れています。

法線が x 軸から θ だけ回転した面では、応力は次のとおりです。

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
セルフチェック ある点で tan 2θp = 1 で、σx − σy は正です。θp はいくらですか？
  1. 22.5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67.5°

答え: 22.5°. 2θp = 45° なので、θp = 22.5° です。45° と答えるのは、円から読んだ角度を半分にし忘れた値です。−67.5° は σ2 の方向で、90° 離れています。

4ステップごとの方法

  1. σx、σy、τxy を符号つきで書き出します：引張が正、圧縮が負。
  2. 中心 C = (σx + σy)/2 を求めます。
  3. 半径 R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²) を求めます。
  4. 主応力：σ1 = C + R、σ2 = C − R。面内の最大せん断：τmax = R。
  5. 方向：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)、象限を確認し、そのあと半分にします。
  6. 与えられた面 θ には：2θ を使った σθ と τθ の式を使います。

円の簡単なスケッチは、粗いものでも、符号とどの点が σ1 かを教えてくれます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

ある点で σx = 80 MPa、σy = 20 MPa、τxy = 40 MPa です。主応力、τmax、σ1 の方向 θp、そして反時計回りに 45° 回転した面の垂直応力を求めなさい。

1

要素を見る

xy

垂直応力はどちらも引張です。せん断応力は正です。

2

中心と半径

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

主応力と最大せん断

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

主応力の方向

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1.333

σx − σy は正なので、補正は不要です：2θp = 53.1°、θp = x から反時計回りに 26.6° です。

5

45° 回転した面

θ = 45° では 2θ = 90° なので、cos 2θ = 0、sin 2θ = 1 です。

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

答えを確認する

和 σx + σy = 100 MPa は、σ1 + σ2 = 100 MPa に等しくなります。この和はどの回転でも同じなので、手早い確認になります。

また、90 MPa は、すべての垂直応力がそうであるように、σ2 = 0 と σ1 = 100 MPa の間にあります。

答え

σ1 = 100 MPa、σ2 = 0、τmax = 50 MPa、θp = 26.6°、σ45° = 90 MPa。

6よくある間違い

  • (σx − σy)/2 と τxy を直接足すこと。半径はそれらをピタゴラスの定理で組み合わせます。
  • 変換式で 2θ の代わりに θ を使う、または円から読んだ角度を半分にし忘れること。
  • 負の符号を落とすこと：圧縮応力は、負の数として入れなければなりません。
  • 点 y を (σy, +τxy) にとること。それは −τxy にあり、x とは中心を挟んで反対側です。
  • σx < σy のときに、2θp の象限を見落とすこと。
セルフチェック σx = 60 MPa、σy = 0、τxy = 40 MPa です。面内の最大せん断応力はいくらですか？
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

答え: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa です。70 は 30 + 40 を足した値、30 はせん断応力を無視した値、40 は τxy だけです。

7試験問題の例

  • やさしい：主応力。σx、σy、τxy が与えられ、σ1 または σ2 を求めます。バリエーション：純せん断、または斜めに切った軸方向の棒。
  • ふつう：最大せん断と主方向。τmax = R、または −90° から 90° の間の角度 θp を求めます。
  • むずかしい：斜面の応力。2θ を使った σθ または τθ の式を使います。バリエーションには、軸荷重とねじりの組み合わせ、あるいは、ミーゼスやトレスカのような破壊の確認で主応力を使うものがあります。

まず C と R を書き出します。このトピックのほとんどすべての問題は、この 2 つの数から答えが出ます。

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解答例

例題 1やさしい
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

ある点で σₓ = 30 MPa、σᵧ = 50 MPa で、さらにせん断応力が作用している。30° 回転した要素で、回転後の x′ 方向の垂直応力は 87 MPa である。回転後の y′ 方向の垂直応力 σy′ を求めよ。

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

求めるもの： σy′ (MPa)

ヒントを表示
  1. τₓᵧ や座標変換の式は必要ありません。
  2. 直交する 2 つの面の垂直応力の和はどの向きでも同じです（モールの応力円の中心は動きません）。
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
答えとステップごとの解答を表示

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

第 1 応力不変量

点 x′ と y′ は直径の両端にあるので、その平均は常に中心 C です。

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

答え

σy′ = −7 MPa
例題 2ふつう
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

求めるもの： θp (°)

ヒントを表示
  1. モールの応力円を描きましょう：点 x を (σₓ, τₓᵧ)、点 y を (σᵧ, −τₓᵧ) にとり、中心 C はその中点です。
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ)。象限に注意しましょう。
  3. C = 10 MPa, R = 31.62 MPa.
答えとステップごとの解答を表示

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108.4°

要素上の角度

θp = −54.22°

答え

θp = −54.22°

反時計回りの角度を正とします。

例題 3むずかしい
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2.5 MPap

内径 500 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 60° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。

D = 500 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 60°

求めるもの： |τn| (MPa)

ヒントを表示
  1. 周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。軸方向と周方向の面にはせん断応力はありません。
  2. 継目に沿ったせん断応力：|τn| = (σh − σa)·sin α·cos α。
  3. σh = 125 MPa, σa = 62.5 MPa.
答えとステップごとの解答を表示

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2.5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62.5 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

|τn| = (125 − 62.5)·sin 60°·cos 60° = 27.06 MPa

答え

|τn| = 27.06 MPa

質問と回答

モールの応力円と応力の座標変換とは？

軸方向のレッスンでは、応力は 1 つの数、つまり力を面積で割ったものでした。しかし、ある点での応力は、見る切断面の方向によって変わります。

チョークをひねって折ってみてください。まっすぐ横にではなく、45° のらせん状に折れます。その 45° の面で引張が最大になり、チョークは引張に弱いのです。

モールの応力円と応力の座標変換の問題の解き方は？（手順）
  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
モールの応力円と応力の座標変換でよくある間違いは？
  • 変換式で 2θ の代わりに θ を使ってしまう。
  • (σx − σy)/2 と τxy を三平方の定理で合成せず、そのまま足してしまう。
  • せん断応力の符号の約束を間違える。
モールの応力円と応力の座標変換の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: 主応力
  • ふつう: 最大せん断応力と主応力の方向
  • むずかしい: 斜め断面上の応力

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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