管摩擦と損失水頭：ステップごとの解答つき練習問題

1水頭損失とは何か

ベルヌーイの式は、流体が摩擦なく流れると仮定します。実際の管では、水は壁や水自身とこすれ合い、エネルギーの一部が熱に変わります。

技術者は、この失われたエネルギーを流体の高さで測り、メートル単位の水頭損失といいます。水頭損失 3 m とは、水が 3 m 登るのに必要なだけのエネルギーを失ったという意味です。

水平な管につけた 2 本の細い管（スタンドパイプ）で見ることができます。水は、下流の管ではあまり高く上がりません。その差が、両者の間の水頭損失です。

水頭損失は、長いパイプラインにポンプが必要な理由であり、とても長い庭のホースだと噴流が弱くなる理由でもあります。

水頭損失は Δp = ρ · g · h_f で圧力降下に換算されます。水では、水頭 1 m は約 9.81 kPa です。

2レイノルズ数：層流か乱流か

細い管のゆっくりした流れは、滑らかな層になって動きます。これが層流です。太い管の速い流れは、渦を巻いて混ざります。これが乱流です。

レイノルズ数は、どちらであるかを教えてくれます。動いている流体の勢いと、その粘り気（粘性）を比べるものです。

• V：平均流速（m/s）、V = Q/A。
• D：内径（m）。
• ν：動粘度（m²/s）（20 °C の水で約 1.0 × 10⁻⁶ m²/s）、または μ：粘度（Pa·s）で、密度 ρ とともに使います。

Re には単位がありません。約 2000 より小さければ層流です。約 4000 より大きければ乱流です。ほとんどの水道管は乱流です。

3摩擦損失と局所損失

まっすぐな管に沿った摩擦損失は、ダルシー・ワイスバッハの式で与えられます。

ここで f はダルシー摩擦係数（問題で与えられ、通常 0.015 から 0.03）、L は管の長さです。項 V²/(2g) は速度水頭です。

損失は流速の 2 乗に比例して増えます。同じ管の流量を 2 倍にすると、摩擦損失は 4 倍になります。

曲がり、バルブ、タンクからの入口、タンクへの出口などの管継手は、余分な局所損失を生じます。それぞれに損失係数 K があります。

代表的な値：角のある入口 K = 0.5、90° の曲がり約 0.3、タンクへの出口 K = 1.0。全損失は h_L = h_f + h_m です。

4ステップごとの方法

1. 単位を換算します：直径は m に、流量は m³/s に（L/s ÷ 1000）。
2. 断面積 A = π·D²/4 と、平均流速 V = Q/A を求めます。
3. 速度水頭 V²/(2g) を計算します。このトピックのほとんどすべての式がこれを使います。
4. 流れの状態には Re = V·D/ν を求めます。摩擦損失には h_f = f·(L/D)·V²/(2g) を使います。
5. 局所損失は ΣK·V²/(2g) で加えます。求められたら、Δp = ρ·g·h で圧力降下に換算します。

L/D はしばしば大きな数（1000 以上）です。先にそれだけを計算して、妥当かどうか確認しましょう。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 速度水頭 V²/(2g) で、2g や V の 2 乗を忘れること。
• 直径を mm のままにして、L/D が 1000 分の 1 になること。
• 流速 V の代わりに流量 Q を使うこと。先に V = Q/A で換算します。
• 出口損失（K = 1.0）を 2 回数えること：局所損失として 1 回、タンクへの噴流の速度水頭として 1 回。
• 圧力を求められているのにメートルの水頭で答える、またはその逆。

7試験問題の例

• やさしい：レイノルズ数。流速または流量、直径、粘度（ν、または ρ と μ）から Re を求め、流れが層流か乱流かを答えます。
• ふつう：ダルシー・ワイスバッハ。与えられた管、流れ、摩擦係数について、摩擦水頭損失 h_f または圧力降下 Δp を求めます。
• むずかしい：局所損失と全水頭。入口、曲がり、バルブをもつ、貯水槽からの管。ある流量に必要な貯水槽の高さ、または 2 つの貯水槽の間の流量を求めます。

貯水槽から出て自由噴流で終わる管では、噴流はなお速度水頭をもちます：H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)。

開放された 2 つの貯水槽の間では、高さの差は損失だけで使い果たされます：Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)。出口の K = 1.0 は ΣK に含めます。V について解き、次に Q = A·V。