剛体の回転：ステップごとの解答つき練習問題

1剛体の回転とは

剛体は、形が変わらない物体です：はずみ車、滑車、ドア、転がる車輪など。このトピックでは、物体は軸のまわりに回ります。

物体のどの点も、同じ時間に同じ角度だけ回ります。したがって、運動を距離ではなく、角度の量で表します：

• θ：回った角度（ラジアン、rad）。1 回転は 2π rad です。
• ω：角速度（rad/s）。
• α：角加速度（rad/s²）。

機械の速さは、毎分の回転数（rpm）で与えられます。計算する前に換算します：

軸から距離 r の点は、速さ v = ω·r で動き、経路に沿った加速度 a = α·r をもちます。

直線運動について知っていることはすべて、回転の対応物をもちます：力はモーメントに、質量は慣性モーメントに、ΣF = m·a は ΣM = I·α になります。

2慣性モーメント

質量は、物体を直線上で加速させるのがどれだけ難しいかを表します。質量慣性モーメント I は、物体を回転させるのがどれだけ難しいかを表します。

軸から遠い質量は、近い質量よりずっと大きく効きます。距離の 2 乗で効くからです：

自分で各部分を足し合わせる必要はありません。重心 G まわりの次の標準的な値を覚えましょう：

• 長さ L の細い棒で、軸が中央を通る場合：m·L²/12。
• 半径 R の中実の円板または円柱：½·m·R²。
• 薄いリングまたはフープ：m·R²。
• 中実の球：(2/5)·m·R²。中空の球：(2/3)·m·R²。
• 距離 r にある質点：m·r²。

軸 O が G を通らないときは、平行軸の定理を使います。ここで d は O と G の間の距離です：

端のまわりに回転する棒では d = L/2 なので、I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3 です。

形の代わりに回転半径 k が与えられる問題もあります。その場合は I = m·k² です。複数の部分からなる物体では、各部分の同じ軸まわりの I を求めて足します。

3モーメント、エネルギー、角運動量

ほとんどすべての回転の問題は、3 つの道具で解けます。問題に合うものを選びましょう。

1. モーメント。軸まわりのモーメントの和は I·α に等しくなります。加速度や力に使います。

一定のトルクでは、角運動は一定の α をもち、運動学の式にも回転の対応物があります：ω = ω₀ + α·t と ω² = ω₀² + 2·α·θ。

2. エネルギー。回転する物体は運動エネルギーを蓄えます。トルク T が角度 θ だけ回すと仕事をし、回転する軸の動力はトルクと角速度の積です：

滑らずに転がる物体は、動くと同時に回転し、v = ω·r が成り立ちます。2 種類の運動エネルギーをどちらももちます：

数 c は形だけで決まります：中実の球は 0.4、中実の円柱は 0.5、中空の球は 2/3、フープは 1。斜面では a = g·sin θ / (1 + c) です。

3. 角運動量。L = I·ω。軸まわりに外部のモーメントが作用しないとき、物体どうしがくっついて運動エネルギーが失われても、L は変わりません：

4ステップごとの方法

1. 物体を描き、軸を選びます：固定された支点や軸、または転がる物体なら中心。
2. その軸まわりの慣性モーメントを求めます。標準的な値を使い、軸をずらすときは m·d² を加えます。
3. rpm の速さはすべて、ω = 2π·n/60 で rad/s に換算します。
4. 道具を選びます。加速度と力：ΣM = I·α（直線上を動く部分には ΣF = m·a）。ある距離や角度の後の速さ：エネルギー。衝突、急な握り、質量を引き寄せる物体：角運動量。
5. ひもや転がり接触が直線運動と回転運動をつなぐ場所で、両者を結び付けます：v = ω·r、a = α·r。
6. 解いたら、可能なら 2 つ目の道具で結果を確認します。

滑車にかけたひもでつるされた物体では、自由物体図を 2 つ描きます：ブロック（力）の図と、滑車（モーメント）の図です。ひもの張力は両方に現れます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• ω、E = ½·I·ω²、P = T·ω で、回転数を rpm のままにする。先に rad/s に換算します。
• 端のまわりに回転する物体に、重心まわりの慣性モーメントを使う。m·d² を加えます。
• 転がる物体や滑車の回転の運動エネルギーを忘れる。
• 棒の先の球や円板を質点として扱う。中心まわりのそれ自身の I も加えます。
• 物体どうしがつかむ、あるいはくっつくときにも運動エネルギーが保存されると考える。代わりに角運動量を使います。
• 回転数をラジアンで数える：N = θ/(2π)。

7試験問題の例

• やさしい：慣性モーメント。ずれた軸まわりの棒、棒と球または円板でできた振り子、はずみ車の運動エネルギー、はずみ車を回転させるのに必要なトルクや時間。
• ふつう：ΣM = I·α、仕事と動力。水平から放した棒、滑車につるされたブロック、ブレーキをかけたはずみ車の回転数、軸のトルクや動力、振れる棒の速さ。
• むずかしい：転がりと角運動量。斜面を転がる球・円柱・フープ、転がるのに必要な摩擦、回転エネルギーの割合、回転する円板に落とされたリング、ダンベルを引き寄せる人、つるされた棒に当たる弾丸。

ブレーキをかけたはずみ車では、ブレーキは蓄えられたエネルギーに等しい仕事をします：T·θ = ½·I·ω²。θ を 2π で割ると回転数になります。

一端をピンで支えられ、水平から放された棒は、放した直後に α = 3·g/(2·L) をもちます。その自由端は 1.5·g で加速します。

棒に弾丸が埋まる場合、支点まわりの角運動量が保存されます：m·v·d = (I_rod + m·d²)·ω。