ニュートンの法則：ステップごとの解答つき練習問題

1ニュートンの法則が述べること

運動学は運動を記述します。ニュートンの法則はそれを説明します：物体の速度が変わるのは、正味の力が作用するときだけです。

• 第 1 法則：物体に働く力がつり合っていれば、物体は静止したままか、一定の速度で動き続けます。
• 第 2 法則：正味の力は、同じ向きの加速度を生みます。力が大きいほど加速度は大きく、質量が大きいほど加速度は小さくなります。
• 第 3 法則：A が B を押すと、B も A を、大きさが等しく向きが逆の力で押し返します。

計算に使うのは第 2 法則です：

ΣF（「F の和」）は正味の力で、すべての力を符号つきで足したものです。力の単位はニュートン（N）、質量は kg、加速度は m/s² です。1 ニュートンは、1 kg に 1 m/s² の加速度を与えます。

2出会う力

ほとんどの問題は、同じ 4 種類の力を使います。それぞれを物体に働く矢印として描きます。この図が自由物体図です。

• 重力 W = m·g：真下向き。g = 9.81 m/s²。
• 垂直抗力 N：面が押し返す力で、面に対して直角です。他の鉛直方向の力がない水平な床では、N = m·g です。
• 摩擦力 F_f = μ·N：面に沿って、運動と反対向き。μ（ミュー）は摩擦係数で、0.3 のような数です。
• ひもやロープの張力 T：ひもに沿って引きます。軽いひもでは、両端で張力が同じです。

次に、運動の向きの力を足します。図では、摩擦力が後ろ向きなので、ΣF = F − F_f です。

3斜面上の物体

斜面では、重力を 2 つの成分に分けます。斜面が水平面となす角を θ とします。

• m·g·sin θ は、物体を斜面に沿って下向きに引きます。
• m·g·cos θ は、物体を斜面に押しつけます。垂直抗力はこの成分とつり合うので、N = m·g·cos θ です。

すると摩擦力は μ·m·g·cos θ で、物体が下向きに滑るときは斜面の上向きに働きます。斜面が急になると、sin θ は大きく、cos θ は小さくなるので、物体はより速く加速します。

滑車の上でひもでつながれた 2 つの物体は、同じ加速度で動きます。まず合計の質量をもつ 1 つの系として扱い、次に 1 つの物体だけを見て張力を求めます。

4ステップごとの方法

1. 物体に働くすべての力を描いた自由物体図を描きます。重力も垂直抗力も忘れないようにします。
2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
3. 力を、運動に沿った成分と直角の成分に分けます。斜面では：m·g·sin θ が沿う成分、m·g·cos θ が斜面に向かう成分です。
4. 直角方向の力から N を求めます。その方向には加速度はありません。
5. 運動と反対向きの摩擦力を F_f = μ·N で求めます。
6. 運動に沿って ΣF = m·a を適用し、未知のものについて解きます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 斜面で sin と cos を取り違える。斜面に沿う成分が sin θ、斜面に向かう成分が cos θ です。
• 斜面や、ロープが部分的に上向きに引くときに、N = m·g を使う。N は、運動に対して直角な方向の力から求めます。
• 摩擦力の向きを間違える。摩擦力は常に運動に逆らいます。
• たとえばつるされた質量の重力など、力を忘れる、または力を二重に数える。
• 正味の力ではなく、加えた力だけで ΣF = m·a を使う。

7試験問題の例

• やさしい：水平な床での摩擦のある押し、一緒に押される 2 つのブロック、エレベーター内の体重計に乗った人。
• ふつう：斜面：滑り下りるブロック、一定の速さで押し上げられる箱、角度をつけてロープで引かれるそり。
• むずかしい：机と滑車：机や斜面の上のブロックが、滑車の上でつるされた質量につながれています。共通の加速度と張力を求めます。

一定の速さでは加速度が 0 なので、力はつり合います：ΣF = 0。