磁場と電磁誘導：ステップごとの解答つき練習問題

Q: 磁場と電磁誘導の練習では何を学ぶ？

やさしい: 電流がつくる磁場と磁気力 ふつう: 荷電粒子、ファラデーの法則、レンツの法則 むずかしい: 発電機、インダクタンス、粒子ビーム 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の磁場と電磁誘導練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：電流がつくる磁場と磁気力, 荷電粒子、ファラデーの法則、レンツの法則, 発電機、インダクタンス、粒子ビーム。

無料の練習問題やさしい

100 巻き、半径 2 cm の平らな円形コイルに 0.5 A の電流が流れています。その中心での磁束密度 B を求めてください。

N = 100I = 0.5 AR = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

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練習する内容

やさしい電流がつくる磁場と磁気力
ふつう荷電粒子、ファラデーの法則、レンツの法則
むずかしい発電機、インダクタンス、粒子ビーム

磁場と電磁誘導の問題の解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

よくある間違い

長さを cm のまま、面積を cm² のままにしてしまう。
ループやソレノイドに導線の公式を使ってしまう。
Φ = BA·cos θ で面とのなす角を使ってしまう。必要なのは法線とのなす角です。
負電荷で力の向きを逆にし忘れる。
発電機のピーク値と実効値を混同する。

重要な公式

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

磁場と電磁誘導をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと：クーロンの法則と電場, 円運動

1電流は磁場をつくる

すべての電流のまわりには、テスラ（T）で測る磁場 B ができます。地球の磁場は約 50 µT、冷蔵庫のマグネットは数 mT です。

長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になります。右手の親指を電流の向きにそろえると、指先が曲がる向きが B の向きです（右手の法則）。図では、⊗ は紙面の奥向き、⊙ は紙面の手前向きの磁場を表します。

直線導線：B = μ₀I/(2πr) 円形コイルの中心：B = μ₀NI/(2R) ソレノイド：B = μ₀(N/L)·I

μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。長さは必ずメートルで：5 cm は 0.05 m です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によりません。

セルフチェック長い直線導線からの距離が 2 倍になります。B はどうなりますか？

2 倍になる
4 分の 1 になる
半分になる
変わらない

答え: 半分になる. B = μ₀I/(2πr) は 1/r に比例して小さくなるので、距離が 2 倍なら磁場は半分になります。1/r² の法則は導線ではなく点電荷に当てはまります。

2磁気力

磁場は動く電荷に力を及ぼします。長さ L で電流 I が流れる直線導線と、速度 v で動く 1 つの電荷 q について：

F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ

θ は電流（または速度）と磁場のなす角です：B と平行な導線には力が働きません。力は両方に垂直です。右手の指を v の向きにそろえ、B の方へ曲げます：正電荷では親指が F の向きです。電子では逆向きになります。

力は常に速度に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします。|q|vB = mv²/r とおくと r = mv/(|q|B) が得られます。1 周にかかる時間 T = 2πm/(|q|B) は速さによりません。

平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きに流れるときは引き合い、逆向きに流れるときは反発し、F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) となります。

セルフチェック陽子と電子が同じ速さで同じ磁場を横切って動きます。大きい円を描くのはどちらですか？

どちらでもない：直進する
どちらの円も同じ大きさ
陽子
電子

答え: 陽子. r = mv/(|q|B) です。電荷の大きさは同じですが、陽子は約 1836 倍重いので、円も 1836 倍大きくなります。また、曲がる向きは逆です。

3磁束とファラデーの法則

ループを貫く磁束は、どれだけの磁場がループを通り抜けるかを表します：Φ = BA·cos θ。θ は B とループの法線のなす角です。単位はウェーバ（Wb = T·m²）です。

コイルを貫く磁束が変化すると、起電力が誘導されます（ファラデーの法則）。誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます（レンツの法則）：

ε = −N·ΔΦ/Δt

磁束が変化するのは、B が変わる、面積が変わる、コイルが回転する、のいずれかの場合です。磁場の中でコイルを裏返すと磁束の向きが逆になるので、ΔΦ = 2BA です。

長さ L の棒が磁場を横切って速さ v で動くと、面積が掃かれるので ε = BLv です。抵抗 R があれば電流は I = ε/R で、磁場はその電流に F = BIL の力で逆らいます：棒を動かし続けるには、引き続けなければなりません。

セルフチェックループを貫く紙面の奥向きの磁場が増加しています。正面から見て、誘導電流はどちら向きに流れますか？

ループの大きさによる
反時計回り
時計回り
電流は流れない

答え: 反時計回り. 誘導電流は紙面の奥向きの磁束の増加を妨げるので、ループ内部に手前向きの磁場をつくります。右手の法則により、反時計回りの電流が必要です。

4発電機とインダクタンス

N 巻き、面積 A のコイルが磁場 B の中で角速度 ω で回ると、ピーク値 E₀ = NBAω の正弦波の起電力が得られます。実効値は E₀/√2 で、回転数 n を rpm で表すと ω = 2π·n/60 です。

コイルの電流が変化すると、自身を貫く磁束が変化し、その変化を妨げる起電力が誘導されます。これが自己インダクタンス L で、単位はヘンリー（H）です。

ε = L·ΔI/Δt 長いソレノイド：L = μ₀N²A/l エネルギー：W = ½LI²

磁束を共有する 2 つのコイルには相互インダクタンス M があります：一方の電流が変化すると、もう一方に ε₂ = M·di₁/dt が誘導され、M = k√(L₁L₂)、0 ≤ k ≤ 1 です。変圧器はこれを利用します。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

長さ 40 cm の金属棒が、0.5 T の磁場の中でレール上を 5 m/s で滑ります。レールは 2 Ω の抵抗でつながれています。電流と、棒を一定の速さで動かし続けるのに必要な力を求めてください。

誘導起電力

ε = BLv = 0.5 · 0.40 · 5 = 1.0 V

電流

I = ε/R = 1.0/2 = 0.5 A

制動力

棒を流れる電流は磁場の中にあるので、棒は運動と逆向きに F = BIL の力を受けます（レンツの法則）。

F = 0.5 · 0.5 · 0.40 = 0.10 N

エネルギーで確かめる

引く仕事率 F·v = 0.10 · 5 = 0.5 W は、抵抗での発熱 I²R = 0.25 · 2 = 0.5 W に等しくなります。エネルギーは保存されています。

答え

I = 0.5 A、F = 0.10 N。

6よくある間違い

距離を cm のまま、面積を cm² のままにしてしまう。1 cm² = 10⁻⁴ m² です。
公式を取り違える：導線は μ₀I/(2πr)、円形ループの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドは μ₀nI です。
Φ = BA·cos θ で、法線ではなく面とのなす角を使ってしまう。
ファラデーの法則で、磁場の変化量ではなく最終的な磁場を使ってしまう。
負電荷で力の向きを逆にし忘れる。
発電機でピーク値と実効値を混同する。

7試験問題の例

やさしい：導線・ループ・ソレノイドの B、導線や動く電荷に働く力、ループを貫く磁束を求めます。
ふつう：磁場中の電荷の半径と周期、コイルのファラデーの法則、レール上の棒、平行導線、力や誘導電流の向きを扱います。
むずかしい：発電機、自己インダクタンスと蓄えられるエネルギー、相互インダクタンス、質量分析計と速度選択器を扱います。

向きを求めるときは、磁場の記号を描き、毎回右手を使います。大きさを求めるときは、まず公式を書き、すべての量を SI 単位に直します。

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解答例

例題 1やさしい

長い直線導線に 8 A が流れています。導線からどれだけ離れた距離 r で、磁束密度が 32 µT になりますか？

I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

求めるもの： r (cm)

ヒントを表示

B = μ₀I/(2πr) を r について解きましょう。
r = μ₀I/(2πB).
結果をメートルからセンチメートルに換算しましょう。

答えとステップごとの解答を表示

電流がつくる磁場：長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になり（右手の法則）、B = μ₀I/(2πr) です。N 巻きの平らな円形コイルの中心では B = μ₀NI/(2R) です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によらず B = μ₀nI、n = N/L は 1 メートルあたりの巻き数です。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。SI 単位（メートルとアンペア）で計算し、複数の源による磁場はベクトルとして足します。

磁場から求める距離

r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0.05 m = 5 cm

答え

r = 5 cm

例題 2ふつう

50 巻きのコイルの面積は 80 cm² です。コイルに垂直な一様な磁場が、100 ms で 0.2 T から 1 T まで一定の割合で増加します。平均誘導起電力 ε を求めてください。

N = 50A = 80 cm²B: 0.2 T → 1 TΔt = 100 ms

求めるもの： ε (V)

ヒントを表示

ファラデーの法則：ε = N·ΔΦ/Δt。
ΔΦ = ΔB·A。
A = 0.008 m²、Δt = 0.1 s。

答えとステップごとの解答を表示

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = (1 − 0.2)·0.008 = 0.0064 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.0064/0.1 = 3.2 V

答え

ε = 3.2 V

例題 3むずかしい

自己インダクタンスが 50 mH と 50 mH の 2 つのコイルの結合係数は 0.3 です。1 つ目のコイルの電流は 1000 A/s の割合で変化します。2 つ目のコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。

L₁ = 50 mHL₂ = 50 mHk = 0.3di/dt = 1000 A/s

求めるもの： ε (V)

ヒントを表示

M = k√(L₁L₂)。
ε₂ = M·di₁/dt。
M をヘンリーに換算しましょう。

答えとステップごとの解答を表示

相互インダクタンス

M = 0.3·√(50·50) = 15 mH

誘導起電力

ε = M·di/dt = 0.015·1000 = 15 V

答え

ε = 15 V

質問と回答

磁場と電磁誘導とは？

すべての電流のまわりには、テスラ（T）で測る磁場 B ができます。地球の磁場は約 50 µT、冷蔵庫のマグネットは数 mT です。

磁場と電磁誘導の問題の解き方は？（手順）

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

磁場と電磁誘導でよくある間違いは？