運動量と衝突：ステップごとの解答つき練習問題

Q: 運動量と衝突の練習では何を学ぶ？

やさしい: 完全非弾性衝突 ふつう: 弾性衝突 むずかしい: 力積と力 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の運動量と衝突練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：完全非弾性衝突, 弾性衝突, 力積と力。

無料の練習問題やさしい

自由に動ける質量 4.5 kg のライフルが、質量 12 g の弾丸を 750 m/s で発射する。どちらも初めは静止している。ライフルの反動の速さ V を求めよ。

M = 4.5 kgm = 12 gv = 750 m/s

次の問題 →

運動量と衝突を無料で練習今すぐ運動量と衝突を練習毎日 5 問まで無料。カード登録は不要です。

練習する内容

やさしい完全非弾性衝突
ふつう弾性衝突
むずかしい力積と力

運動量と衝突の問題の解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

よくある間違い

逆向きの速度のマイナス符号を忘れる。
速度を質量で重みづけせず、単純に平均してしまう。
非弾性衝突で運動エネルギーが保存されると考えてしまう。

重要な公式

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

運動量と衝突をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと：ニュートンの法則

1運動量とは

時速 10 km のトラックは、同じ速さの自転車より止めにくいです。弾丸は小さくても速いので、止めるのがとても困難です。運動量は、その両方、つまり質量と速度を合わせたものです。

p = m · v

運動量 p の単位は kg·m/s です。向きがあり、速度と同じ向きです。正の向きを 1 つ選びます：反対向きに動く物体は、速度が負で、運動量も負になります。

運動量が重要なのは、衝突や爆発で保存されるからです。衝突の間に何が起きても、前の合計は後の合計に等しくなります。

セルフチェック 3 m/s で動く 2 kg のボールの運動量はいくらか。

1.5 kg·m/s
18 kg·m/s
6 kg·m/s
9 kg·m/s

答え: 6 kg·m/s. p = m·v = 2 · 3 = 6 kg·m/s です。9 は ½·m·v²、つまりジュールで表した運動エネルギーで、別の量です。

2運動量の保存

2 つの物体が衝突するとき、それらは同じ短い時間、互いに大きさが等しく向きが逆の力で押し合います（ニュートンの第 3 法則）。一方が運動量で得た分を、他方は失います。

したがって、衝突の間に外力が働かなければ、運動量の合計は変わりません：

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

プライム（′）は衝突後の速度を表します。短い衝突の間は路面の摩擦が小さいので、無視できます。

衝突には 2 種類あります：

完全非弾性：物体がくっついて、共通の速度 v′ で動きます。運動エネルギーは、熱、音、へこみとして失われます。
弾性：物体がはね返って離れ、運動エネルギー ½·m·v² も保存されます。

完全非弾性衝突では、共通の速度が直接求まります：

v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)

爆発や銃の発射は、同じ考え方を逆にしたものです：前の運動量の合計が 0 なので、後も 0 です。

セルフチェック 6 m/s の 2 kg の台車が、静止している 1 kg の台車にぶつかり、くっつく。共通の速度はいくらか。

12 m/s
2 m/s
3 m/s
4 m/s

答え: 4 m/s. v′ = (2 · 6 + 1 · 0)/(2 + 1) = 12/3 = 4 m/s です。速度を平均する（3 m/s）と、重い台車のほうが運動量が大きいことを無視しています。

3力積

時間 Δt の間に作用する力は、物体の運動量を変えます。積 F·Δt を力積 J といい、単位は N·s（kg·m/s と同じ）です。

J = F · Δt = m · Δv = m · (v′ − v)

同じ運動量の変化でも、時間が長ければ、必要な力は小さくなります。エアバッグやクラッシャブルゾーンが命を救うのはこのためです。

はね返るボールでは、速度の符号が変わります。入ってくる向きを正とすると、10 m/s で壁に当たって 5 m/s で戻るボールの Δv は −5 − 10 = −15 m/s です。

4ステップごとの方法

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
前の運動量の合計を書きます：m₁·v₁ + m₂·v₂。
後に何が起こるかを決めます：1 つの共通の速度（くっつく）、2 つの速度（はね返る）、または複数の破片（爆発）。
前の運動量を後の運動量に等しいとおき、未知のものについて解きます。
エネルギーが問われたら、前と後の ½·m·v² を比べます。
答えの符号を確認します：負の速度は、負の向きに動きます。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

20 m/s で動く 1000 kg の車が、反対向きに 10 m/s で動く 1500 kg の車と正面衝突する。2 台はくっつく。衝突直後の共通の速度 v′ を、1 台目の車の向きを正として求めよ。

符号

1 台目の車の向きを正とします。すると v₁ = +20 m/s、v₂ = −10 m/s です。

衝突前の運動量

1000 · 20 + 1500 · (−10) = 20000 − 15000 = 5000 kg·m/s

衝突後の運動量

2 台は、速度 v′ をもつ 2500 kg の 1 つの物体として動きます。

p′ = 2500 · v′

解く

2500 · v′ = 5000 ⇒ v′ = 2 m/s

答えを確認する

v′ は正なので、残骸は 1 台目の車の向きに動きます。これは理にかなっています：1 台目の車のほうが運動量が大きかった（20 000 に対して 15 000 kg·m/s）からです。運動エネルギーは 275 000 J から 5000 J に下がります。車がくっつくときの予想どおりです。

答え

v′ = +2 m/s、1 台目の車が動いていた向き。

6よくある間違い

逆向きの速度のマイナス符号を忘れる。
質量で重みづけせずに、速度を平均する。
物体がくっつくときも運動エネルギーが保存されると考える。保存されるのは運動量だけです。
はね返りで、速度の変化ではなく、速さの差を使う：ボールは向きが反転するので、速さを足します。
弾丸のグラムとキログラムを混同する：12 g は 0.012 kg です。

セルフチェック 0.2 kg のボールが 10 m/s で壁に当たり、まっすぐ 5 m/s ではね返る。接触は 0.01 s続く。壁の平均の力の大きさはいくらか。

100 N
200 N
3 N
300 N

答え: 300 N. Δv = −5 − 10 = −15 m/s なので、F = m·|Δv|/Δt = 0.2 · 15/0.01 = 300 N です。10 − 5 = 5 m/s を使う（100 N）と、ボールが反転することを忘れています。3 N は N·s で表した力積で、時間で割っていません。

7試験問題の例

やさしい：完全非弾性衝突：くっつく 2 台の車、他の台車にぶつかる台車、反動を受けるライフル。
ふつう：レール上のグライダーの弾性衝突、物体がくっつくときに失われる運動エネルギー、爆発、つるされたブロックに撃ち込まれる弾丸。
むずかしい：力積と力：壁ではね返るボール、交差点で衝突する車（2 方向の運動量）、滑って止まる残骸。

静止している 2 番目の物体との弾性衝突では：v′₁ = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁、v′₂ = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁。

アプリでステップごとに学ぶアプリでステップごとに学ぶ

解答例

例題 1やさしい

7.5 m/s で動いている質量 0.5 kg の台車が、静止している質量 5 kg の台車に衝突する。衝突後、1 台目の台車は同じ向きに 0.5 m/s で進み続ける。 2 台目の台車の速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 0.5 kgv₁ = 7.5 m/sm₂ = 5 kgv′₁ = 0.5 m/s

求めるもの： v′₂ (m/s)

ヒントを表示

衝突前の全運動量 = 衝突後の全運動量。
m₁·v₁ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂。
移った運動量 = 3.5 kg·m/s.

答えとステップごとの解答を表示

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の収支

0.5·7.5 = 0.5·0.5 + 5·v′₂

v′₂ = 3.5/5 = 0.7 m/s

答え

v′₂ = 0.7 m/s

例題 2ふつう

10 m/s で動いている質量 1400 kg の自動車が、静止している質量 1500 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1400 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

求めるもの： ΔK (J)

ヒントを表示

まず運動量保存から共通の速度を求めます。
次に衝突前後の ½·m·v² を比べます。
v′ = 4.828 m/s.

答えとステップごとの解答を表示

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·10/2900 = 4.828 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1400·10² = 70000 J

K_after = ½·2900·4.828² = 33793 J

失われたエネルギー

ΔK = 70000 − 33793 = 36207 J

答え

ΔK = 36207 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

例題 3むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 0.7 m の軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 25° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 5 kgL = 0.7 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

求めるもの： v (m/s)

ヒントを表示

上昇する高さ：h = L·(1 − cos θ)。
振れ上がり：V = √(2gh)。衝突：m·v = (m + M)·V。
h = 0.06558 m, V = 1.134 m/s.

答えとステップごとの解答を表示

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 25°) = 0.06558 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.06558) = 1.134 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.134/0.02 = 284.7 m/s

答え

v = 284.7 m/s

質問と回答

運動量と衝突とは？

運動量と衝突の問題の解き方は？（手順）

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

運動量と衝突でよくある間違いは？

逆向きの速度のマイナス符号を忘れる。
速度を質量で重みづけせず、単純に平均してしまう。
非弾性衝突で運動エネルギーが保存されると考えてしまう。

運動量と衝突の練習では何を学ぶ？

やさしい: 完全非弾性衝突
ふつう: 弾性衝突
むずかしい: 力積と力

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

このトピックの前後のトピック

先に学ぶ

ニュートンの法則

計算ツール

衝突と運動量の計算ツール

このトピックを含む科目

動力学基礎物理学物理学 I：力学 AP Physics 1 の練習問題

物理学のほかのトピック

運動学ニュートンの法則円運動ばねと振り子クーロンの法則と電場磁場と電磁誘導波・音・光学

印刷用ワークシート

解答つき運動量と衝突ワークシート

運動量と衝突を無料で練習今すぐ運動量と衝突を練習毎日 5 問まで無料。カード登録は不要です。