ばねと振り子：ステップごとの解答つき練習問題

1振動とは何か

ばねについた質量を一方へ引いて、放します。質量は中央を通り過ぎて反対側に行き、また戻ってきます。ブランコに乗る子どもやギターの弦も同じです。

この繰り返しの動きが振動です。質量が静止する中央の点が平衡位置です。

• 振幅 A は、平衡からの最大の距離で、単位は m です。
• 周期 T は、往復して 1 回の完全な振動にかかる時間で、単位は s です。
• 振動数 f は、1 秒あたりの振動の回数で、単位はヘルツ（Hz）です。

2単振動

ばねは、伸びに比例する力で引き戻します：F = −k·x。剛性 k の単位は N/m です。マイナス記号は、力が常に平衡に向かうことを意味します。

このような復元力は単振動（SHM）を与えます。位置は時間とともに余弦曲線に従います。

角振動数 ω（オメガ）は、rad/s で、動きがどれだけ速く繰り返されるかを決めます。1 周期は 2π rad です。

振幅は周期を変えません。大きく振れると、より長い距離を動きますが、より速くも動きます。

3ばねと振り子の公式

ばねについた質量では、重い質量はよりゆっくり振動し、硬いばねはより速く振動します。

長さ L の単振り子で、小さな振れの場合、質量はまったく関係しません。

ばねを鉛直に吊すと、重さによって新しい平衡まで伸びます：k·x = m·g。これを使って、測定した伸びから k を求めます。

速さは平衡で最大、両端でゼロです。加速度は、ばねの力が最大の両端で最大です。

全エネルギーは変わりません：E = ½·k·A²。位置 x では、½·k·x² + ½·m·v² に分けられます。

4ステップごとの方法

1. すべてを SI 単位に換算します：グラムは kg に、センチメートルは m に。
2. どちらの系かを決めます：ばねについた質量（k と m を使う）か、振り子（L と g を使う）か。
3. 周期や振動の回数が与えられたら、まず T を求めます：T = 時間 / 回数。
4. 系から ω を求めます：ω = √(k/m) または ω = 2π/T。
5. 問われているものに公式を使います：T、f、v_max = A·ω、a_max = A·ω²、またはエネルギー ½·k·A²。
6. 答えが妥当か確認します：硬いばねなら 1 秒の何分の一かの周期、長い振り子なら数秒。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• 振幅を m ではなく cm で使うこと。
• 分数を上下逆にすること：T = 2π·√(m/k) であり、√(k/m) ではありません。振り子では √(L/g) です。
• 2π を忘れる、または ω（rad/s）と f（Hz）を混同すること。
• 質量が振り子の周期を変える、または振幅がどの周期も変えると考えること。
• v_max = A·ω と a_max = A·ω² を取り違えること。

7試験問題の例

• やさしい：ばねについた質量。T、f、または k を求めます。振動の回数から、あるいは吊したばねを質量がどれだけ伸ばすかから求めることもあります。
• ふつう：振り子。周期、与えられた周期に対する長さ、または別の惑星での g を求めます。ある位置や、ある時刻での速さを問う問題もあります。
• むずかしい：速さ、加速度、エネルギー：v_max、a_max、ある位置での運動エネルギー、あるいは、ばねについたブロックに弾が当たったあとの振幅。

どの振り子にも使える手早い確認：地球上の長さ 1 m の振り子の周期は、約 2 s です。