図、ヒント、詳しい解答つきの無料の円運動練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：向心力, カーブでの摩擦, 鉛直面内の円運動。
質量 1600 kg の車が、半径 100 m の平らなカーブを一定の速さ 29 m/s で走る。 必要な中心向きの力（向心力）Fc を求めよ。
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事前に学ぶこと： ニュートンの法則
カーブを曲がる車、ひもの先の石、地球のまわりを回る人工衛星はみな、円周上を動きます。速さが一定でも、向きは変わり続けます。
向きが変わることは速度が変わることなので、物体は加速しています。この加速度は円の中心を向きます。これを向心加速度 ac といいます。
速度は常に接線方向で、半径と直角です。内向きの引く力が突然なくなると、物体は外向きではなく、接線方向にまっすぐ飛び出します。
答え: 円の中心に向かって. 速さは一定でも向きが変わるので、加速度があります。それは中心を向きます。「外向き」に感じるのは、体がまっすぐ進み続けようとしているからです。
向心加速度は、速さ v（m/s）と半径 r（m）で決まります：
速さが 2 倍になると、加速度は 4 倍になります。カーブがきつい（r が小さい）ほど、加速度は大きくなります。
ニュートンの第 2 法則により、何かがその大きさの内向きの力を与えなければなりません：
Fc は新しい力ではありません。実在する力がつくる、内向きの正味の力です：平坦なカーブでは摩擦力、ひもでは張力、人工衛星では重力、傾斜した道路では垂直抗力などです。
回転する物体は、角速度 ω（rad/s）で表すことがよくあります。1 回転は 2π rad なので、60 rpm は 2π rad/s です。
答え: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s² です。速さを 2 乗し忘れると 10/50 = 0.2 m/s² になります。
平坦なカーブでは、摩擦だけが内向きの力を与えます。滑り出す前の最高速度は μ·m·g = m·v²/r から求まります。質量は消えます：
すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。
車が半径 40 m の平坦なカーブを通る。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。車が滑らずにカーブを通れる最高速度 vmax を求めよ。
平坦な道路では、重力と垂直抗力は鉛直方向です。横向きに働くのは摩擦力だけで、カーブの中心を向いています。
水平な道路では N = m·g なので、摩擦力は最大で次の値になります：
質量 m は両辺にあって消えるので、小型車でもトラックでも答えは同じです。
14.0 m/s × 3.6 ≈ 50 km/h です。半径 40 m の急なカーブの最高速度として妥当です。路面が滑りやすい（μ が小さい）と、速さはもっと低くなります。
vmax ≈ 14.0 m/s、約 50 km/h。
鉛直面内の円運動では、重力は、ある場所では中心を向き、ある場所では中心と反対を向きます。最高点と最低点を別々に考えましょう。
最高点で、T = 0 のときにひもがちょうどたるまない限界になります。このとき、重力だけが内向きの力を与えます：m·g = m·v²/r なので、vmin = √(g·r)。
ある点での速さがわかっていて別の点での速さが必要なときは、エネルギーを使います：2r だけ上がると、1 kg あたり v²/2 が 2·g·r だけ減るので、vtop² = vbottom² − 4·g·r。
答え: 12.9 N. 最低点では T − m·g = m·v²/r なので、T = 0.5 · 9.81 + 0.5 · 16/1 = 4.9 + 8 = 12.9 N です。8 N は重力を忘れた値、3.1 N は重力を足さずに引いた値です。
どの場合でも、まず問います：中心を向いているのは、どの実在の力、またはどの力の組み合わせか。
質量 1700 kg の車が、半径 110 m の平らなカーブを一定の速さ 14 m/s で走る。 必要な中心向きの力（向心力）Fc を求めよ。
求めるもの： Fc (N)
等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。
車が半径 50 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ vmax を求めよ。
求めるもの： vmax (m/s)
等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。
質量 1 kg の台車を、摩擦のない軌道上の高さ 11.9 m から静かに放し、半径 3.5 m の鉛直なループを通過させる。g = 9.81 m/s² とする。 ループの最下点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 Nbottom を求めよ。
求めるもの： Nbottom (N)
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
中心に向かう向きを正とします。
カーブを曲がる車、ひもの先の石、地球のまわりを回る人工衛星はみな、円周上を動きます。速さが一定でも、向きは変わり続けます。
向きが変わることは速度が変わることなので、物体は加速しています。この加速度は円の中心を向きます。これを向心加速度 ac といいます。
等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。
問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。