理想気体の状態方程式：ステップごとの解答つき練習問題

1理想気体の状態方程式とは何か

気体は、容器の壁にぶつかりながら飛び回る莫大な数の分子です。その衝突が壁を押し、1 平方メートルあたりのその押す力が圧力です。

気体をより小さな体積に押し込むと、分子はより頻繁に壁にぶつかります：圧力が上がります。加熱すると、分子はより速く動きます：圧力はやはり上がります。

通常の圧力のほとんどの気体では、1 つの式がこれらすべてを結びつけます。

• P：圧力（Pa）（1 kPa = 1000 Pa）。
• V：体積（m³）（1 L = 0.001 m³）。
• n：気体の物質量（mol）。
• T：ケルビンでの絶対温度。
• R = 8.314 J/(mol·K)、気体定数。

2R に合う単位

R = 8.314 J/(mol·K) は SI 単位で使えます。1 ジュールは 1 Pa·m³ なので、P は Pa、V は m³ で入れます。すると、すべてが合います。

• 温度：T[K] = T[°C] + 273.15。
• 体積：1 L = 0.001 m³ なので、20 L = 0.020 m³。
• 圧力：結果は Pa で出ます。kPa にするには 1000 で割ります。
• 質量：質量 m がグラムでわかっているなら、n = m/M でモル数を求めます。M はモル質量（g/mol）です（N₂：28.01、CO₂：44.01）。

便利な近道：V をリットルにすると、n·R·T/V は P を直接 kPa で与えます。リットルの係数 1000 と kPa の係数 1000 が打ち消し合うからです。

3気体の状態を変える

一定量の気体がある状態から別の状態へ移るとき、n と R は変わりません。したがって PV/T は一定のままです。

これがボイル・シャルルの法則（組み合わせ気体則）です。圧力と体積の単位は、両辺で同じであれば何でもかまいません。温度は、やはりケルビンでなければなりません。

気体の密度も n = m/M から求まります。

P を kPa、M を g/mol にすると、ρ は kg/m³ で出ます。

4ステップごとの方法

1. 与えられた値と未知数を書き出します。
2. 温度をケルビンに換算します。
3. 質量が与えられたら、モル数を求めます：n = m/M。
4. 体積を m³ に換算します（またはリットルのままにして kPa の近道を使います）。
5. PV = nRT を未知数について整理し、数値を代入します。
6. 状態の変化には、代わりに P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ を使います。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

6よくある間違い

• ケルビンの代わりに °C を使うこと。これが最もよくある間違いで、答えが何倍も小さくなったり大きくなったりします。
• R = 8.314 の式にリットルを入れて、Pa が出ると期待すること。
• グラムをモル数に直し忘れること。
• ボイル・シャルルの法則で、圧力の比を上下逆にすること。

7試験問題の例

• やさしい：剛体のタンクで、n、V、T から P を求めます。
• ふつう：物質量が質量で与えられます。例題のように、まず n = m/M を求め、次に P または V を求めます。
• むずかしい：状態の変化（ボイル・シャルルの法則で V₂ を求める）、または気体の密度。

密度の例：N₂（M = 28.01 g/mol）は 200 kPa、27 °C で ρ = 200 · 28.01/(8.314 · 300.15) = 2.24 kg/m³ です。