反応器の設計（CSTR と PFR）：ステップごとの解答つき練習問題

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の反応器の設計（CSTR と PFR）練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：CSTR の 1 次反応, PFR の 1 次反応, 体積から求める反応率。

無料の練習問題やさしい
V = ?, k = 0.08 min⁻¹Q = 80 L/minX = 50%

k = 0.08 min⁻¹ の液相 1 次反応 A → B を、80 L/min で供給される連続槽型反応器（CSTR）で行う。 密度は一定で、反応器は定常状態にある。A の反応率 50% に必要な反応器体積 V をリットルで求めよ。

Q = 80 L/mink = 0.08 min⁻¹X = 50%
L
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練習する内容

  1. やさしいCSTR の 1 次反応
  2. ふつうPFR の 1 次反応
  3. むずかしい体積から求める反応率

重要な公式

空間時間
τ = V/Q
CSTR、1 次反応
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR、1 次反応
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
体積から求める反応率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
直列につないだ N 個の等しい CSTR
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

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事前に学ぶこと： 反応速度論

1反応器の設計とは何か

産業では、反応はたいてい連続反応器で行われます：原料が常に流れ込み、生成物が常に流れ出ます。問題は、原料を十分に転化するのに、反応器をどれだけ大きくしなければならないかです。

2 つの理想的な反応器で、ほとんどの試験問題がカバーされます。

  • CSTR（連続槽型反応器）：撹拌機のあるタンク。完全に混合されているので、タンク全体が出口と同じ濃度になります。
  • PFR（押出し流れ反応器）：長い管。流体の各スライスは、前後のスライスと混ざらずに通り抜けます。小さな回分反応器が一列に並んだようなものです。
QCA0CAV
QCA0CAV

ここでは反応は一次、−rA = k·CA で、密度は一定、反応器は定常状態で運転されます。

2空間時間と転化率

空間時間 τ は、反応器の容積を体積供給速度で割ったものです。流体が内部にとどまる平均の時間です。

τ = V / Q

25 L/min で供給される 200 L の反応器では、τ = 200/25 = 8 min です。

転化率 X は、反応した A の割合です：CA = CA0·(1 − X)。転化率 75% は、A の 4 分の 1 が残ることを意味します。

一次反応では、すべてが 1 つの数、積 k·τ に依存します。より大きな反応器、より遅い供給、より速い反応は、いずれも kτ を、したがって転化率を高めます。

セルフチェック 200 L の反応器に 25 L/min で供給します。空間時間 τ はいくらですか？
  1. 0.125 min
  2. 225 min
  3. 5000 min
  4. 8 min

答え: 8 min. τ = V/Q = 200 L / 25 L/min = 8 min です。かける（5000）か、比を逆にする（0.125）と、単位が間違いになります：結果は時間でなければなりません。

3設計式

CSTR は、低い出口濃度のもとで、どこでも反応します。A のモル収支から次が得られます。

CSTR: τ = X / (k·(1 − X)), CA = CA0 / (1 + kτ), X = kτ / (1 + kτ)

PFR では各スライスが回分反応器のようにふるまうので、反応速度論の一次の減衰が t = τ で当てはまります。

PFR: τ = ln(1/(1 − X)) / k, CA = CA0·e−kτ, X = 1 − e−kτ

すると、容積は V = Q·τ です。

同じ転化率に対して、CSTR は、最も低い濃度で反応するため、常に PFR より大きな容積を必要とします。その差は、高い転化率では急速に広がります。

同じ大きさの CSTR を直列にいくつも並べると、だんだん PFR に近づきます。各タンクが濃度を (1 + kτi) で割るので、N 個のタンクのあとでは X = 1 − 1/(1 + kτi)N です。

セルフチェック 同じ供給、速度定数、転化率に対して、どの理想反応器がより大きな容積を必要としますか？
  1. CSTR
  2. PFR
  3. どちらも同じ容積が必要
  4. 供給濃度による

答え: CSTR. CSTR は、すべてが低い出口濃度で反応するため、反応速度はどこでも低くなります。PFR では、流体の大部分がより高い濃度に触れ、より速く反応します。

4ステップごとの方法

  1. どちらの反応器かを決めます：撹拌槽（CSTR）か管（PFR）か。直列のタンクは、1 つずつのタンクとして扱います。
  2. 転化率は小数で書きます：85% は X = 0.85 です。
  3. τ を求めます：容積が与えられていれば V/Q から、転化率が与えられていれば設計式から。
  4. 未知数に合う設計式を使います：τ、V = Q·τ、CA、または X。
  5. 確認：CSTR の結果は、同じ大きさの PFR より、より大きな容積が必要（または転化率が低い）になります。

5例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

一次の液相反応 A → B（k = 0.15 min⁻¹）を、25 L/min で供給される CSTR で行います。密度は一定で、反応器は定常状態です。A の転化率 75% に必要な反応器の容積 V を求めなさい。

1

反応器を描く

Q = 25 L/minCA0X = 0.75V = ?

これは CSTR なので、タンク全体が出口濃度 CA0·(1 − X) で働きます。

2

空間時間

τ = X / (k·(1 − X)) = 0.75 / (0.15 · 0.25) = 20 min
3

体積

V = Q · τ = 25 · 20 = 500 L
4

答えを確認する

戻して確認します：kτ = 0.15 · 20 = 3 なので、X = 3/(1 + 3) = 0.75。正しいです。

PFR なら τ = ln 4/0.15 = 9.24 min で、V = 231 L が必要です。CSTR は約 2.2 倍大きく、予想どおりです。

答え

V = 500 L（空間時間 20 min）。

6よくある間違い

  • CSTR に PFR の式を使う、またはその逆。
  • 式に、空間時間 τ = V/Q ではなく容積 V を使うこと。
  • CSTR の式で (1 − X) を忘れること。
  • PFR の式に log₁₀ を使うこと。使うのは自然対数 ln です。
  • リットルでの容積が問われているのに τ を分で答えること：Q をかけます。
  • 直列のタンクを、合計容積の 1 つのタンクとして扱うこと。
セルフチェック 250 L の CSTR に 25 L/min で供給し、k = 0.15 min⁻¹（一次）です。どれだけの転化率に達しますか？
  1. 150%
  2. 60%
  3. 77.7%
  4. 97.4%

答え: 60%. τ = 10 min なので、kτ = 1.5 で X = 1.5/2.5 = 60% です。77.7% は PFR の結果 1 − e⁻¹·⁵ で、97.4% は τ の代わりに V = 250 を使った値です。

7試験問題の例

  • やさしい：一次反応速度論の CSTR。τ、容積、または出口濃度を求めます。
  • ふつう：PFR で同じこと、または与えられた転化率に対する比 VCSTR/VPFR。
  • むずかしい：与えられた容積からの転化率：CSTR 1 つ、PFR 1 つ、または同じ大きさの 2 つの CSTR を直列にしたもの。

直列の例：400 L の CSTR 2 つに 10 L/min で供給、k = 0.05 min⁻¹。各タンクは kτ = 0.05 · 40 = 2 なので、C/CA0 = 1/3² = 1/9、X = 88.9% です。800 L の 1 つのタンクなら 80% にしかなりません。

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解答例

例題 1やさしい
V = 800 L, k = 0.4 min⁻¹Q = 20 L/minCA0​ = 2.5 mol/LCA​ = ?

液相 1 次反応 A → B（k = 0.4 min⁻¹）を 800 L の連続槽型反応器（CSTR）で行う。 原料は 20 L/min、CA0 = 2.5 mol/L で供給される。密度は一定で、反応器は定常状態にある。出口濃度 CA を求めよ。

V = 800 LQ = 20 L/mink = 0.4 min⁻¹CA0 = 2.5 mol/L

求めるもの： CA (mol/L)

ヒントを表示
  1. 空間時間：τ = V/Q = 40 min。
  2. CSTR、1 次反応：CA = CA0/(1 + kτ)。
  3. kτ = 16.
答えとステップごとの解答を表示

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 800/20 = 40 min

出口濃度

CA = 2.5/(1 + 0.4·40) = 0.1471 mol/L

答え

CA = 0.1471 mol/L

反応率：X = 94.12%。

例題 2ふつう
Q = 20 L/minCA0​ = 2.5 mol/LCA​ = ?V = 200 L, k = 0.25 min⁻¹

液相 1 次反応 A → B（k = 0.25 min⁻¹）を 200 L の押出し流れ反応器（PFR）で行う。 原料は 20 L/min、CA0 = 2.5 mol/L で供給される。密度は一定で、反応器は定常状態にある。出口濃度 CA を求めよ。

V = 200 LQ = 20 L/mink = 0.25 min⁻¹CA0 = 2.5 mol/L

求めるもの： CA (mol/L)

ヒントを表示
  1. 空間時間：τ = V/Q = 10 min。
  2. PFR、1 次反応：CA = CA0·e^(−kτ)。
  3. kτ = 2.5.
答えとステップごとの解答を表示

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 200/20 = 10 min

出口濃度

CA = 2.5·e−0.25·10 = 0.2052 mol/L

答え

CA = 0.2052 mol/L

反応率：X = 91.79%。

例題 3むずかしい
Q = 25 L/minX = ?V = 50 L

液相 1 次反応（k = 0.5 min⁻¹）を、25 L/min で供給される 50 L の押出し流れ反応器（PFR）で行う。密度は一定で、反応器は定常状態にある。反応率 X をパーセントで求めよ。

V = 50 LQ = 25 L/mink = 0.5 min⁻¹

求めるもの： X (%)

ヒントを表示
  1. 反応器 1 つあたりの空間時間：τ = V/Q = 2 min、したがって kτ = 1。
  2. PFR：X = 1 − e^(−kτ)。
  3. X をパーセントで答えます。
答えとステップごとの解答を表示

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 50/25 = 2 min, kτ = 0.5·2 = 1

反応率

X = 1 − e−kτ = 1 − e−1 = 63.21%

答え

X = 63.21%

質問と回答

反応器の設計（CSTR と PFR）とは？

産業では、反応はたいてい連続反応器で行われます：原料が常に流れ込み、生成物が常に流れ出ます。問題は、原料を十分に転化するのに、反応器をどれだけ大きくしなければならないかです。

2 つの理想的な反応器で、ほとんどの試験問題がカバーされます。

反応器の設計（CSTR と PFR）の問題の解き方は？（手順）

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

反応器の設計（CSTR と PFR）でよくある間違いは？
  • CA0·e−kτ は PFR（または回分反応器）の結果です。CSTR は出口濃度で反応します：CA = CA0/(1 + kτ)。
  • 速度式には体積ではなく空間時間 τ = V/Q を使いましょう。
  • CA0/(1 + kτ) は CSTR の結果です。PFR では濃度は指数関数的に減少します：CA = CA0·e−kτ。
反応器の設計（CSTR と PFR）の練習では何を学ぶ？
  • やさしい: CSTR の 1 次反応
  • ふつう: PFR の 1 次反応
  • むずかしい: 体積から求める反応率

問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

練習のしかた

  • 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。
  • 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。
  • 進捗、間違えた問題、保存した問題は記録されるので、試験前に復習できます。

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