熱交換器 (LMTD)：ステップごとの解答つき練習問題

Q: 熱交換器 (LMTD)の問題の解き方は？（手順）

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

Q: 熱交換器 (LMTD)でよくある間違いは？

温度差は指数関数的に減少します：T s − T c,out = (T s − T c,in )·e−UA/(ṁc p )。

Q: 熱交換器 (LMTD)の練習では何を学ぶ？

やさしい: LMTD ふつう: 必要面積 むずかしい: 総合設計 問題ごとに数値が変わるので、答えではなく解き方が身につきます。 行き詰まったら、まず小さなヒントを開き、必要なときだけ詳しい解説を見ましょう。

図、ヒント、詳しい解答つきの無料の熱交換器 (LMTD)練習問題。毎回新しい数値で、3 つのレベル：LMTD, 必要面積, 総合設計。

無料の練習問題やさしい

向流熱交換器で、高温流体が 115 から 100 °C まで冷え、低温流体が 15 から 100 °C まで温まる。対数平均温度差 ΔT_lm を求めよ。

T_h: 115 → 100 °CT_c: 15 → 100 °C

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練習する内容

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むずかしい総合設計

重要な公式

交換熱量: Q = U·A·ΔT_lm
対数平均温度差: ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
流体ごとの熱収支: Q = ṁc_p(T_in − T_out)

熱交換器 (LMTD)をゼロから学ぶ

事前に学ぶこと：エネルギー収支

1熱交換器は何をするか

熱交換器は、高温の流体から低温の流体へ、金属の壁を通して熱を移します。たとえば、内側に高温の油、外側に冷却水が流れる管などです。

どれだけの熱を移せるかは、3 つのことで決まります：壁がどれだけよく熱を通すか、壁がどれだけあるか、そして流体間の温度差がどれだけ大きいか。

Q = U · A · ΔT_lm

Q：熱負荷（W）。
U：総括熱伝達係数（W/(m²·K)）。U が大きいほど、よい熱交換器です。
A：伝熱面積（m²）。
ΔT_lm：対数平均温度差で、適切な「平均」温度差です。

流れは、同じ向き（並流）または反対向き（向流）に流れることができます。

図では、左の熱交換器が並流、右が向流です。向流は、全長にわたってより大きな温度差を保つので、同じ面積でより多くの熱を移せます。

2なぜ対数平均なのか

流体間の温度差は、どこでも同じではありません。熱交換器に沿って高温の流体は冷え、低温の流体は温まるので、温度差は一方の端から他方の端へ変化します。

両端での差を ΔT₁ と ΔT₂ とします。温度差は直線的に変化しないので、単純な平均は正しくありません。正しい平均は対数平均です。

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂) / ln(ΔT₁ / ΔT₂)

各端でどの温度が向き合うかは、配置によって決まります。

向流：ΔT₁ = T_h,in − T_c,out、ΔT₂ = T_h,out − T_c,in。
並流：ΔT₁ = T_h,in − T_c,in、ΔT₂ = T_h,out − T_c,out。

対数平均は、常に算術平均より少し小さくなります。ΔT₁ = ΔT₂ なら、ΔT_lm は単にその値です。

セルフチェック向流で、高温の流体は 100 から 60 °C に、低温の流体は 20 から 50 °C になります。両端の差はいくらですか？

40 K と 30 K
50 K と 10 K
50 K と 40 K
80 K と 10 K

答え: 50 K と 40 K. 向流では、高温の入口が低温の出口と向き合い（100 − 50 = 50 K）、高温の出口が低温の入口と向き合います（60 − 20 = 40 K）。80 K と 10 K は並流の組み合わせです。

3ステップごとの方法

4 つの温度を書き出し、向流か並流かを確認します。
出口温度がわからなければ、先にエネルギー収支で求めます：Q = ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(T_c,out − T_c,in)。
正しい組み合わせで、両端の差 ΔT₁ と ΔT₂ を求めます。
自然対数で ΔT_lm を計算します。
面積：A = Q/(U·ΔT_lm)。U が W/(m²·K) のときは、Q を W にします（kW × 1000）。

セルフチェック両端の差は ΔT₁ = 40 K、ΔT₂ = 20 K です。ΔT_lm はいくらですか？

13.86 K
20 K
28.85 K
30 K

答え: 28.85 K. ΔT_lm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0.693 = 28.85 K です。算術平均の 30 K は近いですが、高すぎます。

4例題

すべてのステップをたどりましょう。開く前に次のステップを予想してみましょう。

例題

向流の熱交換器が 100 kW を伝えます。高温の流体は 120 から 60 °C に冷え、低温の流体は 20 から 50 °C に温まります。総括熱伝達係数は 500 W/(m²·K) です。伝熱面積 A を求めなさい。

温度をスケッチする

向流なので、高温の入口（120 °C）が低温の出口（50 °C）と向き合います。

両端の差

ΔT₁ = 120 − 50 = 70 K

ΔT₂ = 60 − 20 = 40 K

対数平均温度差

ΔT_lm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0.5596 = 53.61 K

面積

Q = 100 kW = 100 000 W。

A = Q / (U · ΔT_lm) = 100 000 / (500 · 53.61) = 3.73 m²

答えを確認する

ΔT_lm = 53.61 K は 40 K と 70 K の間にあり、その平均 55 K をわずかに下回っていて、期待どおりです。

並流なら両端は 100 K と 10 K となり、ΔT_lm = 39.09 K、A = 5.12 m² になります。向流のほうが小さな面積で済みます。

答え

A ≈ 3.73 m²（ΔT_lm = 53.61 K）。

5よくある間違い

向流の熱交換器に並流の組み合わせで温度を組む、またはその逆。
対数平均の代わりに算術平均を使うこと。
1 つの流れの温度変化（たとえば 120 − 60）を ΔT₁ として使うこと。ΔT は常に、同じ端での高温マイナス低温です。
U が W/(m²·K) なのに、Q を kW のままにすること。面積が 1000 分の 1 になります。
ln の代わりに log₁₀ を使うこと。

セルフチェック Q = 50 kW、U = 500 W/(m²·K)、ΔT_lm = 25 K です。必要な面積はいくらですか？

0.004 m²
0.25 m²
4 m²
4000 m²

答え: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m² です。Q を kW のままにすると 0.004 m² で、1000 分の 1 です。0.25 m² は分数を上下逆にした値です。

6試験問題の例

やさしい：4 つの温度から、向流の熱交換器の ΔT_lm を求めます。
ふつう：例題のように、与えられた負荷と U に対する、向流または並流の面積 A を求めます。
むずかしい：完全な設計。水の出口温度は与えられません：高温の流れから Q を、エネルギー収支から水の出口を求め、次に ΔT_lm と A を求めます。

凝縮器を使う問題もあります：高温側は 1 つの一定温度で凝縮します。すると、両端の差はその温度を使い、向流でも並流でも同じ ΔT_lm になります。

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解答例

例題 1やさしい

向流熱交換器で、高温流体が 100 から 80 °C まで冷え、低温流体が 30 から 85 °C まで温まる。対数平均温度差 ΔT_lm を求めよ。

T_h: 100 → 80 °CT_c: 30 → 85 °C

求めるもの： ΔT_lm (K)

ヒントを表示

熱交換器の両端で、2 つの流れの温度差を求めます。
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.

答えとステップごとの解答を表示

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔT_lm、ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔT_lm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = T_h,in − T_c,out = 100 − 85 = 15 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,in = 80 − 30 = 50 K

対数平均温度差

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29.07 K

答え

ΔT_lm = 29.07 K

例題 2ふつう

並流熱交換器が 60 kW を伝える。高温流体は 165 から 115 °C まで冷え、低温流体は 10 から 80 °C まで温まる。熱通過率は 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)T_h: 165 → 115 °CT_c: 10 → 80 °C

求めるもの： A (m²)

ヒントを表示

Q̇ = U·A·ΔT_lm を使い、A について解きます。
並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。
ΔT_lm = 80.64 K.

答えとステップごとの解答を表示

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = T_h,in − T_c,in = 165 − 10 = 155 K

ΔT₂ = T_h,out − T_c,out = 115 − 80 = 35 K

対数平均温度差

ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80.64 K

面積

A = Q̇/(U·ΔT_lm) = 60000/(500·80.64) = 1.488 m²

答え

A = 1.488 m²

例題 3むずかしい

伝熱面積 3 m²、U = 1500 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（1 kg/s、c_p = 4.18 kJ/(kg·K)）は 10 °C で管に流入する。水の出口温度 T_c,out を求めよ。

T_s = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/sc_p = 4.18 kJ/(kg·K)T_c,in = 10 °C

求めるもの： T_c,out (°C)

ヒントを表示

出口温度が未知なので、LMTD を直接計算することはできません。Q̇ = ṁc_p(T_c,out − T_c,in) と Q̇ = U·A·ΔT_lm を組み合わせましょう。
これより ln((T_s − T_c,in)/(T_s − T_c,out)) = U·A/(ṁ·c_p) が得られます。
U·A/(ṁ·c_p) = 1.077.

答えとステップごとの解答を表示

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔT_lm, with ΔT_lm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔT_lm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.