軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 120 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 60 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1 m の B にトルク 1000 N·m が作用し、さらに 0.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 60 mmTB = 1000 N·mTC = 500 N·mAB = 1 mBC = 0.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mP1 = 15 kN 位置 2 mP2 = 70 kN 位置 2.5 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 25 kN 位置 1.5 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 130 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm穴の中心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。
bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 220 mmM = 50 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 30 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 40°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 30 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 600 mm、肉厚 6 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.2 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 55° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 600 mmt = 6 mmp = 1.2 MPaα = 55°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 23 kNa = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 5 kNw = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 15.92 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 120·1000/113.1 = 1061 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1061/200000 = 0.005305 = 5305 µε
伸び
δ = ε·L = 0.005305·3000 mm = 15.92 mm
答え
δ = 15.92 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 530.5 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 47.75 MPa
σ2 = 530.5 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 530.5 MPa
答え
σmax = 530.5 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 1.801 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·79522) = 0.03144 rad
φ = 0.03144·180/π = 1.801°
答え
φ = 1.801°
4.軸のねじり
答え: φC = 0.433 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 1000 = −500 N·m
各区間のねじれ角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −500000·1000/(26000·1.272 × 10⁶) = −0.01511 rad
φBC = 500000·500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.007557 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.01511 + 0.007557 = −0.007557 rad → |φC| = 0.433°
答え
φC = 0.433°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 102.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·5 = 15·2 + 70·2.5
RB = 205/5 = 41 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 41 = 44 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 44·2 = 88 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2.5 = 41·2.5 = 102.5 kN·m
最大値
Mmax = 102.5 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 102.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 48.38 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1.5 + 6·6·3
RB = 145.5/6 = 24.25 kN
ΣFy = 0: RA = 61 − 24.25 = 36.75 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 36.75·1.5 − 6·1.5·0.75 = 48.38 kN·m
答え
Mx = 48.38 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (20000·100 − 2827·130)/(20000 − 2827) = 95.06 mm
ȳ まわりの全体の板
100·200³/12 + 20000·4.939² = 67.15 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·60⁴/64 + 2827·34.94² = 4.088 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ下端 = 193 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 220 + 15/2 = 227.5 mm
ウェブ: Aw = 20·220 = 4400 mm², yw = 220/2 = 110 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·227.5 + 4400·110)/6800 = 151.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·15³/12 + 2400·(227.5 − 151.5)² = 1.392 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 20·220³/12 + 4400·(110 − 151.5)² = 2.531 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.392 × 10⁷ + 2.531 × 10⁷ = 3.923 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
下端は軸から ȳ の位置にあります。
y = 151.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·151.5/3.923 × 10⁷ = 193 MPa
答え
σ下端 = 193 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 96.85 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 45 − (−15)·0.1736 − (−50)·0.9848 = 96.85 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −6.845 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy
答え
σy′ = 96.85 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 39.87 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 1.2·300/6 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39.87 MPa
答え
σn = 39.87 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 9.388 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 23000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·2000²·3000²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 9.388 mm
答え
δP = 9.388 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 16.41 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 5000 N, w = 15 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 5000·6000³/(48·1.68 × 10¹³) = 1.339 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 15.07 mm
足し合わせる
δmax = 1.339 + 15.07 = 16.41 mm
答え
δmax = 16.41 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 11.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/6000² = 11994 N = 11.99 kN
答え
Pcr = 11.99 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 50.76 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/15 = 116.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/116.7² = 50.76 MPa
答え
σcr = 50.76 MPa
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