軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 2 m の B にトルク 200 N·m が作用し、さらに 1.2 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 30 mmTB = 200 N·mTC = 250 N·mAB = 2 mBC = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 8 kN/m（0 から 10 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 50 kN 位置 4 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）x = 4 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 180 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 300 mmM = 30 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 40 MPa、σᵧ = 80 MPa である。最大主応力が 100 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 40 MPaσy = 80 MPaσ1 = 100 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −40 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −40 MPaσy = −50 MPaτxy = −40 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 5 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.06652 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·7461 = 9.621 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·800/9.621 × 10⁸ = 0.06652 mm
答え
δ = 0.06652 mm
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 515.4 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·5890 = 6.872 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.00075·6.872 × 10⁸ = 515418 N = 515.4 kN
答え
Pmax = 515.4 kN
3.軸のねじり
答え: φ = 1.347 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·613592) = 0.02351 rad
φ = 0.02351·180/π = 1.347°
答え
φ = 1.347°
4.軸のねじり
答え: φC = 3.603 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 200 = 50 N·m
各区間のねじれ角
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 50000·2000/(80000·79522) = 0.01572 rad
φBC = 250000·1200/(80000·79522) = 0.04716 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.01572 + 0.04716 = 0.06288 rad → |φC| = 3.603°
答え
φC = 3.603°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 91 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 40·3.5 − 8·3.5·1.75 = 91 kN·m
答え
Mx = 91 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 46 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·4 + 3·5·2.5
RB = 237.5/5 = 47.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 47.5 = 17.5 kN
x = 4 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 17.5·4 − 3·4·2 = 46 kN·m
答え
Mx = 46 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 221.6 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (30000·150 − 2827·180)/(30000 − 2827) = 146.9 mm
ȳ まわりの全体の板
100·300³/12 + 30000·3.122² = 225.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·60⁴/64 + 2827·33.12² = 3.738 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 221.6 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 221.6 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 33.24 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 300 + 15/2 = 307.5 mm
ウェブ: Aw = 10·300 = 3000 mm², yw = 300/2 = 150 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·307.5 + 3000·150)/7200 = 241.9 mm
平行軸の定理
フランジ: 280·15³/12 + 4200·(307.5 − 241.9)² = 1.817 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·300³/12 + 3000·(150 − 241.9)² = 4.782 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.817 × 10⁷ + 4.782 × 10⁷ = 6.599 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 315 − 241.9 = 73.13 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·73.13/6.599 × 10⁷ = 33.24 MPa
答え
σ上端 = 33.24 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 34.64 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (40 + 80)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 100 − 60 = 40 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 20²) = 34.64 MPa
答え
τxy = 34.64 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −80.88 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −45 + 5·0.342 + −40·0.9397 = −80.88 MPa
答え
σθ = −80.88 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 1.938 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 1.938 mm
答え
δmax = 1.938 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 31.25 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18.75 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = wL²/2 − RB·L = 125 − 93.75 = 31.25 kN·m
答え
MA = 31.25 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 34.33 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34.33 kN
答え
Pcr = 34.33 kN
14.柱の座屈
答え: d = 71.41 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 71.41 mm
答え
d = 71.41 mm
確認：細長比 KL/r は 156.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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