材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mmアルミニウム1 mP = 15 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 15 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm銅0.5 mØ 20 mmアルミニウム1 mP = 80 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 80 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
do​ = 50, di​ = 38 mmT = 500 N·mL = 2 m

鋼製の中空軸（外径 50 mm、内径 38 mm、長さ 2 m）が一端で固定され、他端でトルク 500 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 25 mmT0​ = 750 N·mACBa = 1.2 mb = 0.8 m

直径 25 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.2 m、B から 0.8 m の C にトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 25 mmT0 = 750 N·ma = 1.2 mb = 0.8 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
4 kN/m30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 4 m4 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
15 kN/m35 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 6 m10 kN @ 2 m15 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm300 mm105 mmØ50xIx​ = ?

150 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 105 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm300 mm180 mm40 × 20xIx​ = ?

200 mm × 300 mm の板に、幅 40 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 180 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 300 mm切り欠き: 40 × 20 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 30σy​ = 0τxy​ = −10MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = 30 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −50σy​ = −10τxy​ = 30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = −50 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 1.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 8 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mδL = 6 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 m50 × 100 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 100 kNL = 3 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 100 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 100 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 1895 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 15·1000/113.1 = 132.6 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 132.6/70000 = 0.001895 = 1895 µε

答え

ε = 1895 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 254.6 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 254.6 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 254.6 MPa

答え

σmax = 254.6 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 1.752 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

ねじれ角

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·2000/(80000·408885) = 0.03057 rad
φ = 0.03057·180/π = 1.752°

答え

φ = 1.752°
4.軸のねじり

答え: τmax = 146.7 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.8/2 = 300 N·m
TB = 750·1.2/2 = 450 N·m

最大せん断応力

2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。

τmax = 16·450000/(π·25³) = 146.7 MPa

答え

τmax = 146.7 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 44 kN, R2 = 34 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 80, MC = 144 kN·m, MD = 132, ME = 104, MF = 60, MG = 0

答え

点 C: MC = 144 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 17.5 kN, R2 = 87.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 10, MC = 5, MD = −25, ME = −70 kN·m, MF = −35, MG = 0

答え

点 E: ME = −70 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 333 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (45000·150 − 1963·105)/(45000 − 1963) = 152.1 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·−2.053² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·−47.05² = 4.654 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 333 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 449.2 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (60000·150 − 800·180)/(60000 − 800) = 149.6 mm

ȳ まわりの全体の板

200·300³/12 + 60000·0.4054² = 450 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·20³/12 + 800·30.41² = 0.7663 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 449.2 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 449.2 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = −16.85 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·−10, 30 − 0) = −33.69°

要素上の角度

θp = −16.85°

答え

θp = −16.85°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = −14.02 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = −30 + −20·0.5 + 30·0.866 = −14.02 MPa

答え

σθ = −14.02 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 3.995 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 3.995 mm

答え

δmax = 3.995 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 184.1 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16.67) = 1.841 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 184.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 184.1 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 179.9 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/2000² = 179915 N = 179.9 kN

答え

Pcr = 179.9 kN
14.柱の座屈

答え: d = 75.51 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 75.51 mm

答え

d = 75.51 mm

確認：細長比 KL/r は 111.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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