材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 16 mmアルミニウム2 mP = 20 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 20 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
50 kN12400 mm200 mmØ30Ø40σ2​ = ?

鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
do​ = 50, di​ = 25 mmT = 2000 N·mL = 1.5 m

アルミニウム製の中空軸（外径 50 mm、内径 25 mm、長さ 1.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 2000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 2000 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 100 mm, di​ = 75 mm

中空軸が 300 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 75 kWN = 300 rpmdo = 100 mmdi = 75 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 20 kN·mAB3 m5 m

単純ばりに、A から x = 3 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 20 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mM0 = 20 kN·m 時計回り、位置 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
12 kN/m20 kN55 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 0 m55 kN @ 6 m40 kN @ 2 m12 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
2601514018x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm150 mm45 mm40 × 50xIx​ = ?

120 mm × 150 mm の板に、幅 40 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 45 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 40 × 50 mm穴の中心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 130σy​ = 90τxy​ = −40MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 130 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −40 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = 130 MPaσy = 90 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 70σy​ = 20τxy​ = −20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 70 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 4 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 20 kN/mδL = 4 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 4 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 3 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 1421 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99.47/70000 = 0.001421 = 1421 µε

答え

ε = 1421 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σ2 = 26.33 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

区間 2 の分担

F2 = 50000·691150/1.045 × 10⁶ = 33083 N

応力

σ2 = 33083/1257 = 26.33 MPa （圧縮）

答え

σ2 = 26.33 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 11.49 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

ねじれ角

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1500/(26000·575243) = 0.2006 rad
φ = 0.2006·180/π = 11.49°

答え

φ = 11.49°
4.軸のねじり

答え: τmax = 17.79 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

断面二次極モーメント

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6.711 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 2.387 × 10⁶·50/6.711 × 10⁶ = 17.79 MPa

答え

τmax = 17.79 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −7.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 20/8 = 2.5 kN (上向き)
RA = −RB = −2.5 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −2.5·3 = −7.5 kN·m

答え

Mx = −7.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 34.67 kN, R2 = 116.3 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −20, MC = −11.33, MD = −54.67, ME = −110 kN·m, MF = −55, MG = 0

答え

点 E: ME = −110 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 13.38 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 140 + 15/2 = 147.5 mm
ウェブ: Aw = 18·140 = 2520 mm², yw = 140/2 = 70 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·147.5 + 2520·70)/6420 = 117.1 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·15³/12 + 3900·(147.5 − 117.1)² = 3.682 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 18·140³/12 + 2520·(70 − 117.1)² = 9.702 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.682 × 10⁶ + 9.702 × 10⁶ = 1.338 × 10⁷ mm⁴ = 13.38 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 13.38 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 31.31 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (18000·75 − 2000·45)/(18000 − 2000) = 78.75 mm

ȳ まわりの全体の板

120·150³/12 + 18000·−3.75² = 34 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·50³/12 + 2000·−33.75² = 2.695 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 31.31 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 31.31 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 77.36 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = 110 MPa, R = √(20² + (−40)²) = 44.72 MPa
σ1 = 154.7 MPa, σ2 = 65.28 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(89.44, 154.7, 65.28)/2 = 77.36 MPa

答え

τabs = 77.36 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 20.96 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 45 + 25·−0.1736 + −20·0.9848 = 20.96 MPa

答え

σθ = 20.96 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 20 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 20 mm

答え

δ = 20 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 85.71 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·4000⁴/(384·70000·11.11) = 8.571 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 85.71 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 85.71 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 160.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2800² = 160173 N = 160.2 kN

答え

Pcr = 160.2 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 17.27 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答え

σcr = 17.27 MPa

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