軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 75 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 60 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 75 mm、長さ 1.5 m、区間 BC は直径 20 mm、長さ 1.2 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 200 N·md1 = 75 mm, L1 = 1.5 md2 = 20 mm, L2 = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 2 m、B から 0.5 m の C にトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 60 mmT0 = 750 N·ma = 2 mb = 0.5 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 9.5 mP1 = 65 kN 位置 5 mP2 = 80 kN 位置 9.5 m支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
20 kN @ 12 m12 kN/m, 0–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 150 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 45 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 150 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 50 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 50 MPaσy = 110 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 150 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.789 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706.9 = 106.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 106.1/70000 = 0.001516 = 1516 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001516·2500 mm = 3.789 mm
答え
δ = 3.789 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 12.38 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·659734/942478 = 35000 N
応力
σ2 = 35000/2827 = 12.38 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 12.38 MPa
3.軸のねじり
答え: φC = 11.01 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 200000·1500/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.001207 rad
φBC = 200000·1200/(80000·15708) = 0.191 rad
全ねじれ角
φC = 0.001207 + 0.191 = 0.1922 rad = 11.01°
答え
φC = 11.01°
4.軸のねじり
答え: τmax = 14.15 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.5/2.5 = 150 N·m
TB = 750·2/2.5 = 600 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·600000/(π·60³) = 14.15 MPa
答え
τmax = 14.15 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 46.88 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·8 = 65·5 + 80·9.5
RB = 1085/8 = 135.6 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 135.6 = 9.375 kN
P1 の位置で切断し、左側を残す
Mx = RA·5 = 9.375·5 = 46.88 kN·m
答え
Mx = 46.88 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 38 kN, R2 = 78 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 52, MC = 56, MD = 12, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0
答え
点 E: ME = −80 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 56.35 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252.5 mm
ウェブ: Aw = 14·240 = 3360 mm², yw = 240/2 = 120 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·252.5 + 3360·120)/10360 = 209.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 280·25³/12 + 7000·(252.5 − 209.5)² = 1.329 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 14·240³/12 + 3360·(120 − 209.5)² = 4.306 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.329 × 10⁷ + 4.306 × 10⁷ = 5.635 × 10⁷ mm⁴ = 56.35 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 56.35 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 27.54 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (15000·75 − 600·45)/(15000 − 600) = 76.25 mm
ȳ まわりの全体の板
100·150³/12 + 15000·−1.25² = 28.15 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·20³/12 + 600·−31.25² = 0.6059 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 27.54 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 27.54 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −58.28 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−60, 50 − 110) = −116.6°
要素上の角度
θp = −58.28°
答え
θp = −58.28°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 195.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 40 MPa, R = 110.5 MPa
σ1 = 150.5 MPa, σ2 = −70.45 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(150.5² − 150.5·(−70.45) + (−70.45)²) = 195.4 MPa
答え
σvM = 195.4 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.008455 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 12·2500³/(24·9.24 × 10¹¹) = 0.008455 rad
答え
θA = 0.008455 rad
これは 0.4844° です。
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 172.6 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·3000⁴/(384·11000·8.333) = 1.726 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 172.6 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 172.6 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 49.35 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3000² = 49348 N = 49.35 kN
答え
Pcr = 49.35 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 11.05 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/10 = 250
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa
答え
σcr = 11.05 MPa
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