材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mmアルミニウム1 mP = 95 kN

軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 95 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm銅2 mØ 12 mmアルミニウム0.5 mP = 70 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 70 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
d1​ = 25 mmd2​ = 20 mmT = 250 N·mABC2 m2 m

アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 25 mm、長さ 2 m、区間 BC は直径 20 mm、長さ 2 m である。自由端 C にトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

T = 250 N·md1 = 25 mm, L1 = 2 md2 = 20 mm, L2 = 2 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1500 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 12 kN/mAB断面1 m3 m

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 6 kN/mP = 45 kNAB断面1.5 m2.5 m

支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 45 kN 位置 1.5 mw = 6 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm200 mm80 mmØ30xIx​ = ?

120 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 80 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm200 mm80 mm50 × 20xIx​ = ?

100 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 20 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 30σy​ = 60τxy​ = 30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = 30 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の上表面

直径 40 mm の中実軸が曲げモーメント 100 N·mとトルク 1500 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 40 mmM = 100 N·mT = 1500 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mδL = 6 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 m20 × 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 85 kNL = 3 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 85 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 12 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 840/70000 = 0.012 = 12000 µε

伸び

δ = ε·L = 0.012·1000 mm = 12 mm

答え

δ = 12 mm
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 5.665 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 72.76 MPa
σ2 = 618.9 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 72.76·2000/117000 = 1.244 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 618.9·500/70000 = 4.421 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.665 mm

答え

δ = 5.665 mm
3.軸のねじり

答え: τmax = 159.2 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

各区間の応力

T = 250 N·m = 250000 N·mm
τAB = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
τBC = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa

答え

τmax = 159.2 MPa
4.軸のねじり

答え: d = 12.65 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·80)) = 12.65 mm

答え

d = 12.65 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 18 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·4·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24断面1 m3 m

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24·1 − 12·1·0.5 = 18 kN·m

答え

Mx = 18 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 53.44 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1.5 + 6·4·2
RB = 115.5/4 = 28.88 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 28.88 = 40.13 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 40.13RB​ = 28.88断面1.5 m2.5 m

x = 1.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 40.13·1.5 − 6·1.5·0.75 = 53.44 kN·m

答え

Mx = 53.44 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 79.67 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·100 − 706.9·80)/(24000 − 706.9) = 100.6 mm

ȳ まわりの全体の板

120·200³/12 + 24000·−0.6069² = 80.01 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−20.61² = 0.3399 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 79.67 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 79.67 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 66.21 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 1000·80)/(20000 − 1000) = 101.1 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·−1.053² = 66.69 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·20³/12 + 1000·−21.05² = 0.4765 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 66.21 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 66.21 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = 58.28 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·30, 30 − 60) = 116.6°

要素上の角度

θp = 58.28°

答え

θp = 58.28°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 127.6 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·40³) = 15.92 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119.4 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 7.958 MPa
R = √(7.958² + 119.4²) = 119.6 MPa
σ1 = C + R = 127.6 MPa
σ2 = C − R = −111.7 MPa

答え

σ1 = 127.6 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 25.23 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 25.23 mm

答え

δmax = 25.23 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.17 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 2.106 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2500 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/5000² = 2106 N = 2.106 kN

答え

Pcr = 2.106 kN
14.柱の座屈

答え: d = 64.13 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·85000 = 255000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 64.13 mm

答え

d = 64.13 mm

確認：細長比 KL/r は 93.55 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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