軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 50 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 60 mm、長さ 3 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 1 m である。自由端 C にトルク 100 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 100 N·md1 = 60 mm, L1 = 3 md2 = 25 mm, L2 = 1 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 1000 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 75 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
25 kN @ 6 m30 kN @ 4 m5 kN/m, 0–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 45 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mm穴の中心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 130 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 40 mm穴の中心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 0 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 60 mm の中実軸が軸引張力 90 kNとトルク 2000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 60 mmF = 90 kNT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 18 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 5 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 2274 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 159.2/70000 = 0.002274 = 2274 µε
答え
ε = 2274 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 143.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 143.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 143.2 MPa
答え
σmax = 143.2 MPa
3.軸のねじり
答え: φC = 2.036 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 100000·3000/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.002947 rad
φBC = 100000·1000/(80000·38350) = 0.03259 rad
全ねじれ角
φC = 0.002947 + 0.03259 = 0.03554 rad = 2.036°
答え
φC = 2.036°
4.軸のねじり
答え: d = 41.12 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
強度から決まる直径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·60)) = 25.31 mm
剛性から決まる直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·190986/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 41.12 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(25.31, 41.12) = 41.12 mm
答え
d = 41.12 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −83 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −75·1 = −75 kN·m
w: −4·2²/2 = −8 kN·m
Mx = −75 − 8 = −83 kN·m
答え
Mx = −83 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: F (x = 5 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 13.5 kN, R2 = 66.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 11, MC = 17, MD = 18, ME = 14, MF = −25 kN·m, MG = 0
答え
点 F: MF = −25 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 30.09 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (18000·75 − 2827·45)/(18000 − 2827) = 80.59 mm
ȳ まわりの全体の板
120·150³/12 + 18000·−5.591² = 34.31 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·60⁴/64 + 2827·−35.59² = 4.218 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 30.09 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 30.09 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 131.2 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (40000·100 − 2000·130)/(40000 − 2000) = 98.42 mm
ȳ まわりの全体の板
200·200³/12 + 40000·1.579² = 133.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
50·40³/12 + 2000·31.58² = 2.261 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 131.2 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 131.2 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 11.18 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((0 − −10)/2)² + 10²) = 11.18 MPa
答え
τmax = 11.18 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 65.69 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 90000/(π·60²/4) = 90000/2827 = 31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 15.92 MPa
R = √(15.92² + 47.16²) = 49.77 MPa
σ1 = C + R = 65.69 MPa
σ2 = C − R = −33.85 MPa
答え
σ1 = 65.69 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 14.54 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 18000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 18000·1500³/(3·1.61 × 10¹²) = 12.58 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 1.965 mm
足し合わせる
δ = 12.58 + 1.965 = 14.54 mm
答え
δ = 14.54 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 7.363 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 5000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 5000·5000³/(48·8.4 × 10¹²) = 1.55 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 5.813 mm
足し合わせる
δmax = 1.55 + 5.813 = 7.363 mm
答え
δmax = 7.363 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 35.98 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1000² = 35983 N = 35.98 kN
答え
Pcr = 35.98 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 197.4 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
答え
σcr = 197.4 MPa
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