軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 105 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1500 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mP1 = 20 kN 位置 5 mP2 = 15 kN 位置 7 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mP = 30 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 170 mm、厚さ 12 mm、全高は 220 mm、ウェブの厚さは 10 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。
B = 170 mmH = 220 mmtf = 12 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 300 mm の板に、幅 30 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 105 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 300 mm切り欠き: 30 × 30 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 70 MPaσy = −70 MPaτxy = −50 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 12 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 29 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 25 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 6.631 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113.1 = 928.4 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 928.4/70000 = 0.01326 = 13263 µε
伸び
δ = ε·L = 0.01326·500 mm = 6.631 mm
答え
δ = 6.631 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 6.546 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 148.5 MPa
σ2 = 928.4 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 148.5·1500/117000 = 1.904 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 928.4·500/100000 = 4.642 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.546 mm
答え
δ = 6.546 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 0.4676 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·251327) = 0.008162 rad
φ = 0.008162·180/π = 0.4676°
答え
φ = 0.4676°
4.軸のねじり
答え: d = 34.35 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34.35 mm
答え
d = 34.35 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 46.88 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 20·5 + 15·7
RB = 205/8 = 25.63 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 25.63 = 9.375 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·5 = 9.375·5 = 46.88 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 25.63·1 = 25.63 kN·m
最大値
Mmax = 46.88 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 46.88 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 82.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 4·10·5
RB = 320/10 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 32 = 38 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 38·2.5 − 4·2.5·1.25 = 82.5 kN·m
答え
Mx = 82.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Sx = 458.7 × 10³ mm³
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 220 − 2·12 = 196 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·220³ − 160·196³)/12
Ix = 5.045 × 10⁷ mm⁴
断面係数
c = H/2 = 110 mm
Sx = I/c = 5.045 × 10⁷/110
Sx = 458662 mm³ = 458.7 × 10³ mm³
答え
Sx = 458.7 × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 223.1 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (30000·150 − 900·105)/(30000 − 900) = 151.4 mm
ȳ まわりの全体の板
100·300³/12 + 30000·−1.392² = 225.1 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·30³/12 + 900·−46.39² = 2.004 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 223.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 223.1 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 72.11 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((40 − 120)/2)² + 60²) = 72.11 MPa
答え
τmax = 72.11 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 35.62 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 0 + 70·0.866 + −50·0.5 = 35.62 MPa
答え
σθ = 35.62 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 1.905 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 12000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa³/(3EI) = 12000·2000³/(3·1.68 × 10¹³) = 1.905 mm
答え
δP = 1.905 mm
12.はりのたわみ
答え: δmid = 20.79 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 29000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1.7 × 10¹²) = 20.79 mm
答え
δmid = 20.79 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 5.888 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5.888 kN
答え
Pcr = 5.888 kN
14.柱の座屈
答え: d = 55.49 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 55.49 mm
答え
d = 55.49 mm
確認：細長比 KL/r は 252.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials