軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 105 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 80 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 50 kWN = 3000 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 60 kN 位置 5 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mP = 25 kN 位置 3.5 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 240 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 168 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 240 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 70 MPaσy = −30 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が軸引張力 190 kNとトルク 100 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmF = 190 kNT = 100 N·m
τmax = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 8 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 1671 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 105·1000/314.2 = 334.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 334.2/200000 = 0.001671 = 1671 µε
答え
ε = 1671 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 22.56 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 80000·494801/620465 = 63797 N
応力
σ2 = 63797/2827 = 22.56 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 22.56 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 4.619 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·79522) = 0.08061 rad
φ = 0.08061·180/π = 4.619°
答え
φ = 4.619°
4.軸のねじり
答え: τmax = 5.49 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 159155·30/869767 = 5.49 MPa
答え
τmax = 5.49 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MA = −337.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −60·5 = −300 kN·m
w: −3·5²/2 = −37.5 kN·m
MA = −300 − 37.5 = −337.5 kN·m
答え
MA = −337.5 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 34.13 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3.5 + 3·5·2.5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(3.5⁻) = RA − w·3.5 = 4.5 kN
V(3.5⁺) = 4.5 − 25 = −20.5 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·3.5 − w·3.5²/2 = 15·3.5 − 3·3.5²/2 = 34.13 kN·m
答え
Mmax = 34.13 kN·m
それは A から x = 3.5 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 28.55 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 180 + 25/2 = 192.5 mm
ウェブ: Aw = 20·180 = 3600 mm², yw = 180/2 = 90 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3500·192.5 + 3600·90)/7100 = 140.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 140·25³/12 + 3500·(192.5 − 140.5)² = 9.636 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 20·180³/12 + 3600·(90 − 140.5)² = 1.891 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.636 × 10⁶ + 1.891 × 10⁷ = 2.855 × 10⁷ mm⁴ = 28.55 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 28.55 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 131.9 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (28800·120 − 2400·168)/(28800 − 2400) = 115.6 mm
ȳ まわりの全体の板
120·240³/12 + 28800·4.364² = 138.8 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
60·40³/12 + 2400·52.36² = 6.901 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 131.9 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 131.9 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 50.99 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 20 MPa, R = √(50² + 10²) = 50.99 MPa
σ1 = 70.99 MPa, σ2 = −30.99 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(102, 70.99, 30.99)/2 = 50.99 MPa
答え
τabs = 50.99 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 135.7 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 190000/(π·30²/4) = 190000/706.9 = 268.8 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18.86 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 134.4 MPa
R = √(134.4² + 18.86²) = 135.7 MPa
答え
τmax = 135.7 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 6 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 6 mm
答え
δ = 6 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 43.32 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 8000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·3.96 × 10¹¹) = 11.36 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 31.96 mm
足し合わせる
δmax = 11.36 + 31.96 = 43.32 mm
答え
δmax = 43.32 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 29.84 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2100² = 29840 N = 29.84 kN
答え
Pcr = 29.84 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 26.99 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa
答え
σcr = 26.99 MPa
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