材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 16 mm銅2.5 mP = 15 kN

銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 15 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 30 mmアルミニウム1.5 mØ 16 mm銅1 mP = 105 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 105 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 250 N·m

中空軸がトルク 250 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 250 N·mdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 300 rpm で 30 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 5 kN/mAB断面4.5 m1.5 m

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 6 kN/mP = 25 kNAB断面2.5 m6.5 m1 m

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP = 25 kN 位置 9 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 120d = 96寸法の単位：mm

円管の外径は D = 120 mm、内径は d = 96 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 120 mmd = 96 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm150 mm45 mm80 × 20xIx​ = ?

120 mm × 150 mm の板に、幅 80 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 45 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 80 × 20 mm穴の中心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 120σy​ = −80τxy​ = 30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 120 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 140σy​ = −50τxy​ = −60MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 140 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 275 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = 140 MPaσy = −50 MPaτxy = −60 MPaσY = 275 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
P = 5 kNABδ1.5 m1.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 5 kNa = 1.5 mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 4 kN/mP = 13 kNδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 13 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 1 md = 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 637.6 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 74.6/117000 = 0.0006376 = 637.6 µε

答え

ε = 637.6 µε
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 7.647 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 148.5 MPa
σ2 = 522.2 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 148.5·1500/70000 = 3.183 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 522.2·1000/117000 = 4.463 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.647 mm

答え

δ = 7.647 mm
3.軸のねじり

答え: do = 32.24 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·50·0.7599)) = 32.24 mm
di = 0.7·32.24 = 22.57 mm

答え

do = 32.24 mm

中実軸なら d = 29.42 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: d = 39.32 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39.32 mm

答え

d = 39.32 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 16.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15断面4.5 m1.5 m

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15·4.5 − 5·4.5·2.25 = 16.88 kN·m

答え

Mx = 16.88 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 62.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·9 + 6·10·5
RB = 525/10 = 52.5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 52.5 = 32.5 kN
w = 6 kN/mP = 25 kNABRA​ = 32.5RB​ = 52.5断面2.5 m6.5 m1 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 32.5·2.5 − 6·2.5·1.25 = 62.5 kN·m

答え

Mx = 62.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 38.42 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 4072 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6.01 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(6.01 × 10⁶/4072) = 38.42 mm

答え

r = 38.42 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 32.12 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (18000·75 − 1600·45)/(18000 − 1600) = 77.93 mm

ȳ まわりの全体の板

120·150³/12 + 18000·−2.927² = 33.9 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

80·20³/12 + 1600·−32.93² = 1.788 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 32.12 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 32.12 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 104.4 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((120 − −80)/2)² + 30²) = 104.4 MPa

答え

τmax = 104.4 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 1.377

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 45 MPa, R = 112.4 MPa
σ1 = 157.4 MPa, σ2 = −67.36 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(157.4² − 157.4·(−67.36) + (−67.36)²) = 199.7 MPa
n = 275/199.7 = 1.377

答え

n = 1.377

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δB = 8.272 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 5000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 3.309 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003309 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8.272 mm

答え

δB = 8.272 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 29.12 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 13000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 13000·3000³/(48·3.96 × 10¹¹) = 18.47 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 10.65 mm

足し合わせる

δmax = 18.47 + 10.65 = 29.12 mm

答え

δmax = 29.12 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 16.82 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16.82 kN

答え

Pcr = 16.82 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 17.27 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答え

σcr = 17.27 MPa

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